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[ayoub_96]

ENONCE

Soient a,b;)N\{0,1} et n;)N;).

On suppose que an+bn est un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2.
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SOLUTION

On peut écrire n=2^k(2p+1) avec k,p;)N et l'enjeu est d'établir p=0.

Posons =a^2^k et =b^2k. On a

a^n+b^n=;)^(2p+1)+;)^(2p+1)=;)^(2p+1);)(;);)^(2p+1))
On peut alors factoriser par ;)(;);))=;)+;) et puisque an+bn est un nombre premier, on en déduit que +;)=1 ou +;)=a^n+b^n. Puisque ,;);)1, le cas +;)=1 est à exclure et puisque ;)a^n et ;)b^n, le cas +;)=a^n+b^n entraîne

=a^n et =b^n
Puisque a;)2, l'égalité =an=;)2p+1 entraîne p=0 et finalement n est une puissance de 2.

http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?idChap=25 (dernier exo)
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Cette solution que j'ai trouvé sur le net me semble inacceptable. En raisonnant par l'absurde, il faut prendre le cas contraire et aboutir à une contradicition. Le hic dans cette solution c'est que n=2^k*(2p+1) n'est pas le seul cas contraire de n=2^k! Qu'en pensez-vous? :help:

[Nightmare]

Le raisonnement proposé N'EST PAS un raisonnement par l'absurde. Relis la bien.

[ayoub_96]

SI SI ! montrer que que p=0 c'est comme montrer que n est différent de 2^k*(2p+1) tel que p appartient à N*! Si j'ai tort et que le raisonnement n'est pas par absurde et bien il me semble que se pencher sur un cas parmi d'autres est d'autant plus inacceptable. On peut écrire n=2^k*(2p+1) comme on peut l'écrire sous differentes autres formes : (2+a)^k par exemple

[deltab]

Bonjour.

L'écriture provient de la décomposition de n en produit de facteurs premiers, écriture dans laquelle on a séparé les facteurs 2 des autres facteurs (dont le produit es nécessairement impair).
Si n est une puissance de 2 alors p=0 sinon avec

[jlb]

"ENONCE

Soient a,b;)N\{0,1} et n;)N;).

On suppose que an+bn est un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2."


bonjour, quel est l'intérêt de cet exercice? an+bn=n(a+b) a peu de chance d'être premier mis à part n=1,non?

[Sourire_banane]

Ben on suppose que an+bn est premier, i.e on prend n tel que an+bn est premier.

[ayoub_96]

Bonjour.

L'écriture provient de la décomposition de n en produit de facteurs premiers, écriture dans laquelle on a séparé les facteurs 2 des autres facteurs (dont le produit es nécessairement impair).
Si n est une puissance de 2 alors p=0 sinon avec

Bonjour à toi,
Merci pour ta réponse. Je me suis totalement trompé! ...Je savais bien qu'il y avait une relation avec la parité de la puissance . Il est connu que a^k+b^k est divisible par a+b si k est impair. Dire que j'y étais tout presque! ...Merci encore! :lol3: