ENONCE
Soient a,b;)N\{0,1} et n;)N;).
On suppose que an+bn est un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2.
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SOLUTION
On peut écrire n=2^k(2p+1) avec k,p;)N et l'enjeu est d'établir p=0.
Posons =a^2^k et =b^2k. On a
a^n+b^n=;)^(2p+1)+;)^(2p+1)=;)^(2p+1);)(;);)^(2p+1))
On peut alors factoriser par ;)(;);))=;)+;) et puisque an+bn est un nombre premier, on en déduit que +;)=1 ou +;)=a^n+b^n. Puisque ,;);)1, le cas +;)=1 est à exclure et puisque ;)a^n et ;)b^n, le cas +;)=a^n+b^n entraîne
=a^n et =b^n
Puisque a;)2, l'égalité =an=;)2p+1 entraîne p=0 et finalement n est une puissance de 2.
http://mp.cpgedupuydelome.fr/mesexos.php?idChap=25 (dernier exo)
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Cette solution que j'ai trouvé sur le net me semble inacceptable. En raisonnant par l'absurde, il faut prendre le cas contraire et aboutir à une contradicition. Le hic dans cette solution c'est que n=2^k*(2p+1) n'est pas le seul cas contraire de n=2^k! Qu'en pensez-vous? :help: