Loi normale (ca me rend fou)

par **Dante0** » 14 Avr 2013, 14:18

Bonjour,

Je galère avec cet exercice :

Les ampoules fabriquées par un industriel A ont une durée de vie moyenne de 1400 heures avec un écart type de 200heures, tandis que celles fabriquées par l'industriel B ont une durée de vie moyenne de 1200 heures avec un écart type de 100heures.

On teste un échantillon aléatoire de 125 ampoules de chaque marque.
Quelle est la probabilité que la durée moyenne des ampoules de marque A dépasse de 160 heures celles des ampoules de marque B ?

Cette loi me donne des cauchemars, je ne sais pas quand il faut l'utiliser ou non (c'est le cas ici) :hum:
Et je n'ai pas compris grand chose à la loi centrée réduite :hum:

qu'il faut utiliser ici...

Merci ! :help:

par **Dante0** » 14 Avr 2013, 18:27

:help: :help: :help:

par **leon1789** » 14 Avr 2013, 18:39

A_1, ..., A_125 sont des variables indépendantes suivant la loi normale N(1400, 200^2)
B_1, ..., B_125 sont des variables indépendantes suivant la loi normale N(1200, 100^2)

quelle est la loi suivie par
-B_1 ?

A_1 + A_2 ?

A_1 - B_1 ?

A_1 + ... + A_125 ?

(A_1 + ... + A_125) / 125 ?

(A_1 + ... + A_125) / 125 - (B_1 + ... + B_125) / 125 ?

par **Dante0** » 14 Avr 2013, 18:47

leon1789 a écrit:A_1, ..., A_125 sont des variables indépendantes suivant la loi normale N(1400, 200^2)
B_1, ..., B_125 sont des variables indépendantes suivant la loi normale N(1200, 100^2)

quelle est la loi suivie par
-B_1 ?

A_1 + A_2 ?

A_1 - B_1 ?

A_1 + ... + A_125 ?

(A_1 + ... + A_125) / 125 ?

(A_1 + ... + A_125) / 125 - (B_1 + ... + B_125) / 125 ?

Comment sais-tu qu'elles suivent une loi normale ?
Toutes ces variables suivent une loi normale je suppose ?

par **leon1789** » 14 Avr 2013, 18:55

Dante0 a écrit:Comment sais-tu qu'elles suivent une loi normale ?

Bonne question !
Ce n'est pas marqué dans ton énoncé, mais dans le titre. C'est pour cela que je suis parti sur la loi normale.

Si on ne connaît pas les lois de probabilité suivies par les ampoules, une réponse exacte me paraît impossible. Mais ....

En utilisant le théorème central limite, on peut approximer la loi suivie par
(A_1 + ... + A_125) / 125 et
(A_1 + ... + A_125) / 125 - (B_1 + ... + B_125) / 125
et cela sans connaître les lois suivies par les ampoules !

Est-ce que le TCL te dit quelque chose ?

Dante0 a écrit:Toutes ces variables suivent une loi normale je suppose ?

oui. Mais finalement, c'est peut-être pas la peine de répondre à mon premier message... because TCL...

par **Dante0** » 14 Avr 2013, 19:20

Mais le TCL ne s'applique que pour la loi normale non ?

par **leon1789** » 14 Avr 2013, 19:41

Dante0 a écrit:Mais le TCL ne s'applique que pour la loi normale non ?

Justement non ! Il s'applique à toute loi, et donne "en sortie" une approximation d'une somme en utilisant une loi normale. Le TCL : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_central_limite#Th.C3.A9or.C3.A8me_central_limite
et c'est surement cela que l'on veut que tu appliques puisque les lois suivies par les ampoules ne sont pas précisées. Non ? Si ?

Par ailleurs, additionner des lois normales se fait directement (et surtout sans TCL !) : lis le théorème ici http://www.maths-forum.com/erreurs-se-combinent-quadratiquement-sic-137599.php C'est sur cela que mon premier message t'invitait...

par **Dante0** » 15 Avr 2013, 13:25

Je comprends pas trop le post que tu me montres... :x
Si on se met dans le cadre de l'exo quelle est la 1ere étape face au probleme ?

par **leon1789** » 15 Avr 2013, 16:02

La première étape est de savoir si on te précise les lois des ampoules dans ton énoncé :
si oui, alors on fait des calculs avec ces lois (si possible) pour obtenir une valeur exacte ;
si non, alors on utilise le théorème central limite pour obtenir une valeur approchée.

par **Dante0** » 15 Avr 2013, 17:18

leon1789 a écrit:La première étape est de savoir si on te précise les lois des ampoules dans ton énoncé :
si oui, alors on fait des calculs avec ces lois (si possible) pour obtenir une valeur exacte ;
si non, alors on utilise le théorème central limite pour obtenir une valeur approchée.

Donc comment utiliser le TCL ici ?

par **leon1789** » 15 Avr 2013, 17:22

Dante0 a écrit:Donc comment utiliser le TCL ici ?

A_1, ..., A_125 sont des variables indépendantes suivant une loi inconnue de moyenne = 1400 et variance = 200^2
B_1, ..., B_125 sont des variables indépendantes suivant une loi inconnue de moyenne = 1200 et variance = 100^2

Par le TCL http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_central_limite#Th.C3.A9or.C3.A8me_central_limite, on sait que

(A_1 + ... + A_125) suit approximativement la loi normale de moyenne ... et de variance ...

(A_1 + ... + A_125) / 125 suit approximativement la loi normale de moyenne ... et de variance ...

(A_1 + ... + A_125) / 125 - (B_1 + ... + B_125) / 125 suit approximativement la loi normale de moyenne ... et de variance ...

par **Dlzlogic** » 15 Avr 2013, 22:33

leon1789 a écrit:A_1, ..., A_125 sont des variables indépendantes suivant une loi inconnue de moyenne = 1400 et variance = 200^2
B_1, ..., B_125 sont des variables indépendantes suivant une loi inconnue de moyenne = 1200 et variance = 100^2
etc. et
Si on ne connaît pas les lois de probabilité suivies par les ampoules, une réponse exacte me paraît impossible. Mais ....

Les lois de probabilité suivies par le ampoules doivent être marquées sur le culot des ampoules, ou au moins sur l'emballage. Par cotre, chaque fabricant possède ses propres loin de probabilité pour ses ampoules ...
Ne faites pas attention c'est un gag :ptdr: :hum:

par **Dante0** » 16 Avr 2013, 06:30

a 11h de l'examen, mon sens de l'humour devient limité :hum: :mur:
Je vais devoir y aller sans comprendre ca :doh: :triste:

par **Sylviel** » 16 Avr 2013, 07:33

J'ai du mal à voir ce que tu ne comprends pas. Léon a très bien décomposé les choses.

Je peux te redonner le TCL (en version simplifiée) pour que tu puisse l'appliquer suivant ses conseils.

Si (Xi) est une suite de variable indépendantes et identiquement distribuées (donc de même loi) de carré intégrable (i.e de variance < +oo) alors

où m est l'espérance de Xi, et sigma son écart-type.

En français cela signifie que la somme de N Xi suis approximativement une loi normale d'espérance n*l'espérance d'une variable (ça c'est toujours vrai par linéarité) et de variance n*la variance d'une (c'est toujours vrai par indépendance) donc d'écart type V(n)*l'écart-type d'une (par bête définition de l'écart-type).

Est-ce plus clair ?

par **Dante0** » 16 Avr 2013, 07:46

Sylviel a écrit:J'ai du mal à voir ce que tu ne comprends pas. Léon a très bien décomposé les choses.

Je peux te redonner le TCL (en version simplifiée) pour que tu puisse l'appliquer suivant ses conseils.

Si (Xi) est une suite de variable indépendantes et identiquement distribuées (donc de même loi) de carré intégrable (i.e de variance < +oo) alors

où m est l'espérance de Xi, et sigma son écart-type.

En français cela signifie que la somme de N Xi suis approximativement une loi normale d'espérance n*l'espérance d'une variable (ça c'est toujours vrai par linéarité) et de variance n*la variance d'une (c'est toujours vrai par indépendance) donc d'écart type V(n)*l'écart-type d'une (par bête définition de l'écart-type).

Est-ce plus clair ?

Non... :triste:
Pour moi le TCL se résume à

avec

Enfin bon on va croiser les doigts pour que ca ne tombe pas !

par **Sylviel** » 16 Avr 2013, 07:50

Non tu ne peux pas "croiser les doigts pour que ça ne tombe pas". C'est un truc fondamental. Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans mon explication ? (je te garantis que c'est une application directe du TCL, si tu veux je pourrais te taper l'explication plus tard).

En quelques mots ce que je t'ai expliqué c'est que par le TCL la somme de variable i.i.d ressemble à une gaussienne dont tu peux retrouver l'espérance et l'écart-type très facilement).

par **Dante0** » 16 Avr 2013, 07:54

Sylviel a écrit:Non tu ne peux pas "croiser les doigts pour que ça ne tombe pas". C'est un truc fondamental. Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans mon explication ? (je te garantis que c'est une application directe du TCL, si tu veux je pourrais te taper l'explication plus tard).

En quelques mots ce que je t'ai expliqué c'est que par le TCL la somme de variable i.i.d ressemble à une gaussienne dont tu peux retrouver l'espérance et l'écart-type très facilement).

Ben j'ai pas compris grand chose en fait :
Utilité du théorème
Quand est-ce qu'il s'applique..

Est-ce qu'il y'a un rapport avec la "convergence en loi" ou les "loi limites" ? d'autres notions qui me sont obscures...

par **Sylviel** » 16 Avr 2013, 08:04

Et bien relis les messages que l'on a écrit.

Et essaie déjà de l'appliquer à ton exercice en suivant les indications de Léon.

Le TCL s'applique quand tu as une somme de va iid. Ou une moyenne (c'est une somme divisé par une constante après tout). Il sert à déterminer des probas d'écart à l'espérance. Quelques exemples d'exercice pêle mêle :

- tu mesure 10 brassée de tissus. Une brassée fait 1m en moyenne avec un écart-type de 5 cm. Quelle est la proba que la longueur totale de tissu dépasse 10,5m.

-Tu envoies des caisses de 1000 appareils, chacun à un probabilité 1/20 d'avoir un petit défaut, quelle est la probe que tu ais plus de 50 appareils défectueux dans une caisse.

bon il faut que je file mais j'espère que tu as saisi l'idée : le TCL sers à approximer une somme (ou une moyenne) de variables iid.

Le lien avec la convergence en loi c'est que mon "ressemble à" est en fait une convergence en loi. Et on ne peux l'écrire que sur la moyenne car si tu le fais sur la somme tu te retrouves à dire qu'elle tends vers une loi normale lim N (n.m,V(n) sigma) quand n tends vers l'infini ce qui n'a pas de sens. Donc pour faire des maths propre il faut suivre ce qui est écrit dans ton cours ou wikipédia. Mais pour l'application (et la résolution d'exo) le ressemble à est à considérer comme un = (si tu sommes sur au moins 30 variables...). Et donc tu n'as pas besoin de comprendre la convergence en loi pour cela. Par contre si tout ça t'es obscure à 11h de l'exam il aurait peut-être fallut te réveiller plus tôt ;-)

par **leon1789** » 16 Avr 2013, 08:19

Dante0 a écrit:Non... :triste:
Pour moi le TCL se résume à avec
Enfin bon on va croiser les doigts pour que ca ne tombe pas !

Ben

est équivalent à

où m est l'espérance (la moyenne) et

l'écart-type,

la variance.

par **Dante0** » 16 Avr 2013, 08:27

Oui c'est vrai mais je suis 2 cursus en même temps, j'ai manqué de temps. :mur:

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