Mathématiques: Dérivations

par **Analine** » 04 Mar 2013, 19:10

Bonsoir, je souhaiterais obtenir de l'aide concernant un exercice sur les dérivations. Merci d'avance.
Voici l'exercice:
Dans une usine de produits alimentaires, une machine fabriquant de la moutarde est utilisée 10 heures par jour, en continu. La fonction f, définie sur [0;10]par: f(t)= -t³+ 12t²+72t, représente la production totale de moutarde apres t heures de fonctionnement. La dérivée de f, f'(t), représente la production marginale de cette machine apres t heures d'utilisation.
1°) a)Determiner f'(t). Déterminer la dérivée de la production marginale notée g(t).
b) Etudier la production marginale et montrer qu'elle admet un maximum atteint en t0=4. En déduire le signe de la production marginale f'(t).
c) A l'aide de la question précédente, justifier que la production totale est croissante sur [0;10].

2°) Sur l'intervalle ou la production marginale est croissante, on parle de " phase de rendements croissants". Sur l'intervalle ou la production marginale est décroissante on parle de "phase de rendements décroissants". A l'instant t0 , ou la production marginale change de sens de variation , le point I d'abscisse t0 de la courbe C de la production totale est un point d'inflexion.
a)Indiquer les deux phases et le point d'inflexion I pour cette production.
b) Determiner l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t).
c) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10]. On vérifiera que: f(t)-h(t)=-(t-4)³. Justifier la phrase:" Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente

par **taz64** » 04 Mar 2013, 19:25

bonsoir,

tu as fait quelle question?

A+
:hein:

par **Analine** » 04 Mar 2013, 19:29

Je n'ai pas encore répondu. J'ai commencé à chercher et je pense que pour la première question la réponse est (mais je ne suis pas sure): f'(t) = -3t² + 24t + 72
g(t) = f''(t) = -6t + 24
Je ne comprends vraiment pas. Merci pour ton aide. :)

par **Analine** » 04 Mar 2013, 19:43

Je n'ai pas répondu, j'ai simplement fait des recherches, mais je rencontre des difficultés alors je n'y arrive pas. Je crois que la réponse 1/ a) est : g(t) = f''(t) = -6t + 24 mais je n'ai aucune certitude.
J'apprécierais vraiment si vous m'aidiez. Merci d'avance. :)

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 09:09

Bonjour,

1) a) Tu as f(t)= -t³+ 12t²+72t

La dérivée est donc f'(t) = -3t² + 24t + 72
Donc g(t) = f''(t) = -6t + 24

b) Etudie le signe de g(t) en faisant un tableau de signe. (Pour t'aider tu peux résoudre g(t) = 0 et appliquer les règles d'inégalités dans un polynôme du second degré)

c) Découle de b)

2) a) Tu dois donner l'intervalle où f(t) est croissante, l'intervalle lorsque f(t) est décroissante et les coordonnées du point I (où la courbe est à un maximum/minimum)

b) N'oublie pas la formule de la tangente au point A(a, f(a)) :

y = f'(a) (x - a) + f(a)

c) f(t)-h(t)=-(t-4)³ Essaye déjà d'obtenir cette forme puis déduisant le signe sur [0; 10]

edit : correction sur g(t)

par **Analine** » 05 Mar 2013, 11:19

Merci pour votre réponse, je pense que cela va m'aider. En revanche je ne comprends pas comment vous avez trouvé la dérivée ? Qu'avez-vous utilisé ?

par **Ncromancien** » 05 Mar 2013, 11:27

Pour trouver la dérivée, ampholyte a juste utilisé les formules de dérivées usuelles.

Tu sais que

et que la dérivée de x = 1
Tu retrouve f' grâce à ca

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 13:42

@Analine :

J'ai compris, ton résultat est tout à fait correct, car tu as calculé la dérivée seconde f''(x) et non la dérivée première f'(x) !!

Après relecture du sujet, ton résultat est juste. En revanche n'oublie pas de définir f'(t) avant de calculer f''(t) d'où ma remarque !

PS : J'ai corrigé la fonction g(t) dans mon premier post.

par **Analine** » 05 Mar 2013, 13:54

Merci pour votre aide. Je comprends votre raisonnement et les formules utilisées mais j'ai beaucoup de mal à les appliquer. Pourriez-vous développer votre explication concernant les formules s'il vous plaît . Bonne journée à vous et merci d'avance.

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 15:01

Très bien reprenons du début :

1°) a)Determiner f'(t). Déterminer la dérivée de la production marginale notée g(t).
b) Etudier la production marginale et montrer qu'elle admet un maximum atteint en t0=4. En déduire le signe de la production marginale f'(t).
c) A l'aide de la question précédente, justifier que la production totale est croissante sur [0;10]. d) Visualiser la courbe de la production totale à l'écran d'une calculatrice avec Y;)[0;1300].

1. a) On sait que f(t) = -t³+ 12t²+72t

On me demande de calculer la dérivée de f donc:

f'(t) = [-t³ + 12t² + 72t]' = -3t² + 12*(2t) + 72 = -3t² + 24t + 72

Dérivée d'un polynôme du troisième degré, tout simplement.

Je sais que la production marginale correspond à f'(t). Donc la dérivée de la production marginale correspond à la dérivée de f'(t) (ou encore la dérivée de la dérivée de f(t) que l'on note f''(t). On l'appelle également dérivée seconde).

Donc :

g(t) = f''(t) = [-3t² + 24t + 72]' = -3*2t + 24 = -6t + 24

Dérivée d'un polynôme du second degré.

b) On demande d'étudier la production marginale, c'est à dire à dire implicitement d'étudier les variations de f'(t) sur I = [0; 10]

On a calculer f"(t), trouvons le signe de g(t) = f''(t) sur I.

-6t + 24 = 0
t = 4

Sur [0; 4] g(t) est positive et sur [4; 10] g(t) est négative. Donc on en déduit que f'(t) est croissante sur [0; 4] et est décroissante sur [4; 10].

(Tu peux faire un tableau de signe/variation comme il est courant de faire)

La fonction f'(t) admet donc un maximum en to = 4

Pour t = 0, on a f'(0) = -3*0² + 24*0 + 72 = 72
Pour t = 10, on a f'(10) = -3*10² + 24*10 + 72 = -300 + 240 + 72 = 12

La fonction f'(t) est donc strictement positive sur [0; 10]

c) La fonction f'(t) étant strictement positive sur [0; 10], on en déduit que f(t) est strictement croissante sur cette intervalle

Dit moi si tu ne comprends pas quelque chose.

par **Analine** » 05 Mar 2013, 15:27

Merci beaucoup de ton aide, cela m'éclaire énormément .En revanche, la premiere partie est plus compréhensible que la seconde . C'est pour cela que je voulais plus d'explication au niveau des formules pour la deuxieme partie. Aussi qu'est ce qu'un point d'inflexion ? Encore merci :)

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 15:29

2°) Sur l'intervalle ou la production marginale est croissante, on parle de " phase de rendements croissants". Sur l'intervalle ou la production marginale est décroissante on parle de "phase de rendements décroissants". A l'instant t0 , ou la production marginale change de sens de variation , le point I d'abscisse t0 de la courbe C de la production totale est un point d'inflexion.
a)Indiquer les deux phases et le point d'inflexion I pour cette production.
b) Determiner l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t).
c) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10]. On vérifiera que: f(t)-h(t)=-(t-4)³. Justifier la phrase:" Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente

a) La phase de rendements croissants se trouve sur l'intervalle [0; 4], la phase de rendements décroissants se trouve sur [4; 10].

f'(4) = -3*4² + 24*4 + 72 = 120

Donc le point d'inflexion I a pour coordonnées I (4; 120) (C'est le point maximum ! On passe de la croissance à la décroissance)

b) On applique l'équation de la tangente :

y = f''(4)(x - 4) + f'(4) = (-6*4 + 24)(x - 4) + 120

y = h(t) = 120 (réponse normal car c'est un maximum donc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses)

c) Ici il doit y avoir une erreur dans l'énoncé car la fonction f(t) - h(t) est différente de la fonction -(t - 4)^3. Es-tu sure que la fonction est bien f(t)= -t³+ 12t²+72t ?

par **Analine** » 05 Mar 2013, 15:41

Merci , merci énormément ! C'est vraiment très gentil de ta part. Je ne comprends juste pas pour la question c , pourquoi une erreur ? Sinon demande moi si tu as besoin d'aide un jour pour faire un exercice dans une matière autre que les mathématiques ^^ , je serai ravie de t'aider :) . Voilà un grand merci à toi :)

par **Analine** » 05 Mar 2013, 15:57

Oui la fonction f(t) est bien égale à -t(au cube) + 12t²+72t

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 16:08

Analine a écrit:Merci , merci énormément ! C'est vraiment très gentil de ta part. Je ne comprends juste pas pour la question c , pourquoi une erreur ? Sinon demande moi si tu as besoin d'aide un jour pour faire un exercice dans une matière autre que les mathématiques ^^ , je serai ravie de t'aider . Voilà un grand merci à toi

Je ne suis plus étudiant, je n'ai donc plus de cours, mais merci pour ta proposition

.

Concernant la c) si je développe :

- (t - 4)³ = -[t³ - 12t² + 48t - 64] = -t³ + 12t² - 48t + 64

Or f(t) - h(t) = -t³ + 12t² + 72t - 120 ce qui ne fonctionne pas.

J'ai également tracé les courbes et le résultat est incohérent.

Il y a donc un problème sur cette question.

par **Analine** » 05 Mar 2013, 16:14

Derien :) . Ah tu n'es plus étudiant ? Tu as quel âge sans indiscrétion ? ^^ Oui cela semble incohérent mais es-tu sûr que que h(t)=120 ? Merci :)

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 16:23

Je pense ne pas m'être trompé dans le calcul de h(t) et le résultat me semble cohérent.

Il est dit :

Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t).

Le point d'inflexion I étant un maximum, la tangente en ce point sera parallèle à l'axe des abscisses. Elle aura donc une forme y = b (a étant nulle)

Or en calculant y, on obtient :
y = f''(4)(x - 4) + f'(4) = (-6*4 + 24)(x - 4) + 120 = 120 (ce qui est cohérent)

De plus si on trace la fonction f'(t) sur [0; 10] et la fonction h(t) = 120, h(t) est bien tangente à la courbe de f'(t) en 4.

PS : J'ai 23 ans ^^

par **Analine** » 05 Mar 2013, 16:30

D'accord , tu as l'air sûr de toi donc je te crois ! ;) PS : ok ^^

par **Ncromancien** » 05 Mar 2013, 16:51

Je me permet juste de te donner un petit conseil conernant les dérivations :)

Ce n'est pas très compliqué mais il faut beaucoup de pratique, apprend toute tes formules par coeur et entraine toi à dériver. Je sais que cela peut paraitre ennuyeux mais ce chapitre est indispensable, il est donc important de le maitriser ! Fais des éxos bonus dans des bouquins ou demande même à ton prof pour avoir des éxos en plus ! A force de t'entrainer tu y arrivera beaucoup mieux :)

par **ampholyte** » 05 Mar 2013, 16:54

Ncromancien a écrit:Je me permet juste de te donner un petit conseil conernant les dérivations

Ce n'est pas très compliqué mais il faut beaucoup de pratique, apprend toute tes formules par coeur et entraine toi à dériver. Je sais que cela peut paraitre ennuyeux mais ce chapitre est indispensable, il est donc important de le maitriser ! Fais des éxos bonus dans des bouquins ou demande même à ton prof pour avoir des éxos en plus ! A force de t'entrainer tu y arrivera beaucoup mieux

Complètement d'accord avec toi. Surtout que si tu maitrises correctement les dérivations, tu auras beaucoup moins de mal en Physique/Chimie un peu plus tard. Tu arriveras également mieux à comprendre les intégrales et les équations différentiels !

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