Décomposition en éléments simples

[Anonyme]

Bonjour,

Comment dois-je faire pour calculer l'intégrale suivante :

int((a*x²+1)/(x^4+b*x²+1),x=0..infini)

avec 0
J'arrive à décomposer la fraction rationelle sur le corps des complexes,
en quelque chose du genre :

A/(x²-x1) + B/(x²-x2)

mais x1 et x2 sont des complexes, donc pour l'intégrations, je ne sais
pas faire.

comme le dénominateur est scindé sur R, je ne vois pas comment réduire
cette fraction rationelle en éléments simples que je pourrais ensuite
facilement intégrer.


Merci de vos lumières.

Alexandre.

[Ah oui, j'oubliais le pourquoi du calcul. Cette fraction rationelle
représente la fonction de transfert d'un boucle à verrouillage de phase.
L'intégrale que je cherche à calculer va me donner la bande équivalente
de bruit. Mais bon, ça c'est de la physique. ]

[Anonyme]

Le Wed, 21 Jul 2004 14:58:08 +0200, AG à écrit
>Bonjour,
>
>Comment dois-je faire pour calculer l'intégrale suivante :
>
>int((a*x²+1)/(x^4+b*x²+1),x=0..infini)
>
>avec 0
>J'arrive à décomposer la fraction rationelle sur le corps des complexes,
>en quelque chose du genre :
>
>A/(x²-x1) + B/(x²-x2)
>
>mais x1 et x2 sont des complexes, donc pour l'intégrations, je ne sais
>pas faire.

Trouve une (parmi les 2) racine de z disons par abus de notation
sqrt(z).

alors 1/(x²-z) va s'intégrer en -argth(x/sqrt(z))/sqrt(z)

En 0, ça vaut 0
En +oo, ça vaut i * pi/2 *1/sqrt(z) * epsilon(z)

(epsilon vaut +/- 1 suivant le quadrant occupé par z).



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

AG a écrit
> Comment dois-je faire pour calculer l'intégrale suivante :
> int((a*x²+1)/(x^4+b*x²+1),x=0..infini) avec 0 J'arrive à décomposer la fraction rationelle sur le corps
> des complexes, en quelque chose du genre :
> A/(x²-x1) + B/(x²-x2) mais x1 et x2 sont des complexes,
> donc pour l'intégrations, je ne sais pas faire.

C'est curieux car le polynôme x^4+b*x²+1 doit toujours
pouvoir s'écrire en produit de deux polynômes à coefficients
réels. Il suffit de grouper les racines conjuguées.

Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:
> AG a écrit
>[color=green]
>>Comment dois-je faire pour calculer l'intégrale suivante :
>>int((a*x²+1)/(x^4+b*x²+1),x=0..infini) avec 0>J'arrive à décomposer la fraction rationelle sur le corps
>>des complexes, en quelque chose du genre :
>>A/(x²-x1) + B/(x²-x2) mais x1 et x2 sont des complexes,
>>donc pour l'intégrations, je ne sais pas faire.
>
>
> C'est curieux car le polynôme x^4+b*x²+1 doit toujours
> pouvoir s'écrire en produit de deux polynômes à coefficients
> réels. Il suffit de grouper les racines conjuguées.
>
> Pierre[/color]

Oui c'est pour ça que j'ai annulé mon post, mais visiblement trop tard.
J'avais fait le raisonnement erroné suivant :


x^4+b*x²+1 = (x²+b/2)²+ 1 - b²/2

or b0 donc on ne peut factoriser plus. Ce qui est faut :


x^4+b*x²+1 = (x²+ sqrt(2-b) + 1)*(x²-sqrt(2-b)+1)

La décomposition en éléments simples se fait alors trivialement comme
expliqué dans tous les bons bouquins etc...


Alexandre.