Exercice proba maitrîse (variables gaussiennes)

[hneo]

Salut,

Je n'arrive pas à faire un exo de proba
Il concerne les variables gaussiennes :

Soit G une variable gaussienne de loi N(m,z²) et b un nombre réel positif. on note p(x) la partie positive de x, soit p(x) = sup(x,0).
Calculer en terme de fonction de répatition de la loi gaussienne la quantité
C(a) = E(p(a*exp(G) -b)). Calculer la dérivée de C(a).

Merci.

[alben]

Bonjour,

Je suppose que a est positif, sinon C est toujours nulle..
Il suffit de te demander à partir de quelle valeur de G la quantité (a*exp(G) -b) cesse d'être négative. Comme c'est une fonction croissante, cela te donne la limite inférieure pour calculer l'espérance.
C'est un peu fastidieux mais ne présente pas de difficultés

[hneo]

Merci de ton aide, j'ai finalement réussi en utilisant la fonction indicatrice.
Par contre, un autre exercice me complique la vie :

Soit (Xt, t => 0) une famille de v.a. telles que le processus X est gaussien centré et E(XtXs) = inf(s,t).
1. Calculer E ((Xt-Xs)²)
On pose I = int (Xtdt) de 0 à 1. On admet que I existe.
2. Calculer l'espérance et la variance de I. Pouvez-vous donner la loi de I ?


Pour le 1.
E((Xt-Xs)²) = E(Xt²) + E(Xs²) - 2 inf(s,t)
= Var(Xt) + Var(Xs) - 2 inf(s,t)

Pour le 2.
E(int (Xtdt) de 0 à 1) = int( E(Xt²) dt sur [0;1]) // je pense très fortement que c'est faux
= int( Var(Xt) dt sur [0;1]) // et là, le drame, j'sais plus où aller...

[alben]

Soit (Xt, t => 0) une famille de v.a. telles que le processus X est gaussien centré et E(XtXs) = inf(s,t).

C'est quoi t ? un indice, une variable ?
ou bien X est fonction de t ?

Pour le 2.
E(int (Xtdt) de 0 à 1) = int( E(Xt²) dt sur [0;1]) // je pense très fortement que c'est faux

L'espérance et l'integration sont des opérateurs linéaires, on peut donc les permuter à condition que ça converge bien sur

[hneo]

t est un indice

Xt doit converger ? E(Xt) = 0 car variable centrée, est-ce suffisant ou est-ce faux ?

[alben]

Si t est un indice, l'intégration par rapport à t n'a pas de sens.
Sauf si la famille Xt considérée est indexée par des réels
En posant , il reste à savoir quel est le lien entre X et t.
t ne serait-il pas simplement un paramètre de la loi de X ?

[hneo]

je pense qu'il faut utiliser les processus gaussiens dans le chapitre des browniens, je viens de voir un truc dans le genre dans un bouquin, je vais essayer de potasser cette partie...