Exercice avec des racines

[kitkatt]

J'ai des exercices à faire et je suis un peu coincée là...
Ex 1 : 1)a. Démontrer que 1/(;)5-;)4)=;)5+;)4
b. En déduire que 1/(;)5-;)4) ;) 4
2) Démontrer que 1/(;)6-;)5) ;) 2;)5
3) Qu'elle généralisation peut-on proposer ?

Ex 2 : soit f(x)= ;)(x^2+2x+5) pour tout x réel.
1) Démontrer que pour tout x réel, f(x)-2=(x+1)^2/ ;)(x^2+2x+5)
2) En déduire que f(x);)2 pour tout x réel.
3) En déduire le minimum de f sur R .

Merci de m'aider !!

[ampholyte]

Bonjour,

1) a. Essaye de multiplier par le conjuguer au numérateur et dénominateur
b. Tu sais que 1/(;)5-;)4) 4 équivaut aussi à 5+;)4 4 .
Tu peux par exemple partir de 5 4

2) Procède de la même manière en calculant le conjugué (comme pour 1.a)

Ex2 : 1) Essaye de multiplier par
2) Que sais-tu sur le signe d'une racine carrée ? Que sais-tu sur le signe d'un carré ?

[kitkatt]

J'arrive à calculer le 1) de chaque exo mais après je ne vois pas comment faire pour démontrer que c'est supérieur ou égal à un chiffre... Une racine carrée est toujours positive mais dans ce cas ça devrait être supérieur 0

[ampholyte]

Je te montre comment faire.

1) b. On sait que 5 ;) 4, donc ;)5 ;) 2 on sait aussi que ;)4 = 2 d'où
;)5 + 2 ;) 2 + 2
;)5 +;)4 ;) 4

2) C'est exactement le même raisonnement que pour 1. Tu peux partir de ;)6 ;) ;)5

Ex 2.
Comme tu me l'as dit, une racine est toujours positive et un carré est toujours positif.
alors la division de deux positifs donne un positif d'où
(x+1)^2/ ;)(x^2+2x+5) ;) 0
Donc
f(x) - 2 ;) 0
f(x) ;) 2

[kitkatt]

Merci beaucoup pour cette réponse ! Ça m'éclairer mieux maintenant !

[kitkatt]

Mais par contre à quelle généralisation doit on arriver ?

[ampholyte]

Si je te dis que :
1/(;)9-;)8) ;) 2;)8

1/(;)9999-;)9998) ;) 2;)9998

1/(;)99999999-;)99999998) ;) 2;)99999998

Qu'est ce que tu peux dire

1/(;)...-;)...) ;) 2;)... à completer avec n par exemple =).

[kitkatt]

Merci beaucoup !!! Et dernière question, si on prend à l'exercice 2 f(x)= V(-x^2+6x-8) et qu'il faut démontrer que f(x) est inférieur ou égal à 3, il faut faire le même travail mais je me perd encore dans les racines...

[ampholyte]

Essaye de multiplier par

Puis tu devrais avoir une démonstration concernant f(x) - 3 = ... qui devrait être strictement inférieur à 0 (à cause d'un signe moins sûrement ^^).

[kitkatt]

J'arrive à (-x^2+6x+17)/(V(-x^2+6x+8)+3) et en suite j'ai besoin d'aide ^^

[kitkatt]

Si vous y arriver bien sur...

[ampholyte]

Peux-tu donner l'énoncer exacte avec ?

[kitkatt]

Il faut faire comme à l'exercice 2 avec g(x)=V(-x^2+6x-8) sur [2;4]
Il faut démontrer que 3 est le maximum de la courbe représentative de g

[ampholyte]

Pour cela il suffit de calculer la dérivée de g(x) sur ]2;4[



Sur ]2;3] g'(x) est supérieure ou égale à 0 et sur [3;4[ g'(x) est inférieure ou égale à 0

Donc on en déduit que sur [2;3], la fonction g(x) est strictement croissante et sur [3;4] la fonction g(x) est strictement décroissante. On en conclut que la fonction g(x) admet un maximum pour x = 3 sur l'intervalle [2;4] qui vaut

or 1 est inférieur à 3 donc g(x) est inférieure ou égale à 3 sur [2;4].

[kitkatt]

Je n'ai finalement pas fait comme ça mais au final j'arrive à la même chose ! Merci beaucoup, je pense du coup fermer la discussion.