Parabole non composée

par **Lostounet** » 23 Déc 2012, 21:48

Bonsoir,

Soit un trinôme du second degré, de la forme

(à coefficients a,b et c naturels) .

Le problème que je me pose: Quelles conditions liant les coefficients et les valeurs entières de n me permettent de trouver n pour lequel le trinôme "est" un nombre premier?

Il me semble que, quelle que soit la parabole considérée, elle passe toujours par un point /plusieurs points à ordonnée première (nombre premier) et un point à ordonnée composée (pas première)... Comment le prouver?

Comment trouver une méthode générale pour pouvoir donner un "n" (entier) pour lequel le trinôme est premier.

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Une première approche (à ne pas lire)

J'ai pensé à imposer sur n les conditions suivantes, qui sont utiles si "c" est premier (et encore faut-il qu'il soit trop petit...).

Si, pour un n choisi, on

, alors c ne peut pas diviser

. Ainsi, si je choisis n tel que:

J'obtiens par somme...

Mais rien ne dit que si c ne divise pas le tout, alors c'est premier, sauf si c est le plus petit premier possible... ?)

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Voilà, donc pour une somme pondérée, comment trouver les valeurs de la variable qui la rendent première?

Pour a b et c des naturels fixés, comment choisir x pour que E soit premier...

par **Lostounet** » 25 Déc 2012, 16:13

Bon, petit up !

Peut-être faut-il que je procède par disjonction /parité ...
Il est clair que si a, b et c sont pairs, aucun x choisi ne peut convenir, par exemple..

Mais ça se complique assez vite, si les trois sont impairs, et x est pair, on ne peut pas trancher. Si x est impair, il faut c impair...

par **Nightmare** » 25 Déc 2012, 16:17

Déjà, tu sais résoudre ton problème pour des polynômes du premier degré? A mon avis ça nous donne déjà un indice sur la complexité de la question...

par **Lostounet** » 25 Déc 2012, 16:21

Par exemple trouver x pour lequel A = ax + b est premier..? Non je ne sais pas le faire... Sauf si a et b sont pairs...

par **nodjim** » 25 Déc 2012, 16:21

Lostounet, si tu trouves une solution générale pour trouver n de sorte que an²+bn +c soit premier, alors c'est sûr, tu vas devenir célèbre !
Imagine que ça te permettrait de trouver un premier aussi grand que tu le veux !
Alors tu pourrais rafler d'un coup d'un seul tous les records des plus grands nombres premiers.
Donc, à ma connaissance, et bien que plus d'un Mathématicien sur la planète s'intéresse à ce problème (de recherche d'une formule pratique pour trouver les nombres premiers), ta question n'a pas encore de solutions.

par **Nightmare** » 25 Déc 2012, 16:24

Pour le cas des an+b, le résultat s'appelle le théorème de la progression arithmétique et ses preuves sont d'une complexité déconcertante. Alors pour des an^2+bn+c, j'imagine que c'est pas mieux.

par **Nightmare** » 25 Déc 2012, 16:25

Et comme dit nodjim, pour les an+b, on sait qu'il y a des premiers en nombre infini, mais on ne sait pas comment les trouver.

par **nodjim** » 25 Déc 2012, 16:28

Nighmare, ça se démontre pour tous les polynomes ?

par **Nightmare** » 25 Déc 2012, 16:30

Surement, mais on ne sait pas comment à l'heure actuelle. Certains y travaillent surement. Bon courage à eux...

par **Lostounet** » 25 Déc 2012, 16:33

Héhé :( Dommage !
Moi qui voulais élaborer des méthodes organisées pour trouver des nombres premiers à partir de ma parabole...

par **nodjim** » 25 Déc 2012, 16:34

J'ai été longtemps fasciné par le simple polynome 4n²+1. Il permet de trouver des nombres premiers plus grands plus rapidement que par l'algo classique. Mais il ne les donne pas tous et pas dans l'ordre. Et je n'ai pas su montrer qu'il en existait une inifinité.

par **Lostounet** » 25 Déc 2012, 16:37

Hum !

5; 17 ; 37 ; ... ; 101; ... ; Pourquoi est-ce que ça donne des nombres premiers?

par **nodjim** » 25 Déc 2012, 16:58

ça se comprend aisément pour peu qu'on travaille avec les modulo nombres premiers. Disons que c'est facile de connaitre quels sont les n pour lesquels le résultat n'est pas premier. Pour un p donné:
4a²+1=k*p
4(a+-p)²+1=k'*p.
Pour le 17, par exemple, obtenu pour n=2, on le retrouvera comme facteur dans tous les n de la forme 17k+-2, c'est à dire 2,15,19,32,36,....

par **Matt_01** » 25 Déc 2012, 19:50

Par contre on peut montrer assez facilement que le nombre de diviseurs premiers est infini (la seule condition étant que le polynome ne soit pas constant).

par **nodjim** » 25 Déc 2012, 20:08

Oui, et c'est assez évident.
On peut aussi montrer que, si on teste un rang n pour lequel on n'a pas découvert au préalable de diviseur premier, alors le résultat est forcément premier.
1-->5 (on le trouvera tous les 5k+-1)
2-->17 (on le trouvera tous les 17k +-2)
3-->37 (on le trouvera tous les 37+-3k)
4-->5*13 (5 est déja connu, car n=4 de la forme 5k+-1.
5-->101 est premier car pas de facteur connu. parmi les 4 premiers n.
etc...

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