Etude de fonction

[Luc]

La question 3 n'est pas évidente. Je te conseille de traiter les deux inégalités (majoration et minoration) séparément.
Si tu connais les fonctions hyperboliques (sinus hyperbolique et tangente hyperbolique), ces inégalités s’interprètent comme la position de ces courbes par rapport a leurs tangentes en 0 (d’équation y=x dans les deux cas).
Mais comme je suppose que tu ne les connais pas, il faut démontrer les inégalités a la main, par exemple en étudiant le signe sur R+ des fonctions auxiliaires x-> et x-> . Une ressemblance avec les fonctions déjà étudiées précédemment n'est pas a exclure...

[MrBrightside]

Je viens tout juste de voir les fonctions hyperboliques en cours, donc je ne saurais pas les utiliser dans ce cas... Enfin je ne m'en sens pas capable ce soir en tous cas, je préfère me ramener à quelque chose de relativement familier.

Je vais faire une étude de fonction auxiliaire, c'est une bonne idée à laquelle j'aurais dû penser automatiquement.... :hum:

Pendant que je m'y attèle, pourrais tu m'expliquer ce que signifie cette notation très exactement s'il te plaît? *+

[Luc]

Pendant que je m'y attèle, pourrais tu m'expliquer ce que signifie cette notation très exactement s'il te plaît? *+

C'est l'ensemble des x qui sont a la fois dans le domaine de définition de f et dans*+.
Ici c'est *+, c'est a dire d’après les questions précédentes.

[MrBrightside]

Okay, c'est bien ce qu'il me semblait.

Bon alors pour la 3):

J'ai donc introduit les fonctions comme tu me l'as dit et je trouve à partir des dérivées qu'elle sont toutes les deux positives et donc l'inégalité est belle et bien montrée.

Pour la deuxième partie de la question, j'ai simplement à appliquer le théorème des gendarmes. Reste donc la 4ème question.

[Luc]

Pour la deuxième partie de la question, j'ai simplement à appliquer le théorème des gendarmes.

Exactement. Donc que vaut la limite de f en 0+? Et en 0-?

Du coup je viens de me rendre compte qu'on peut prolonger f par continuité en 0 par sa valeur. Donc on peut considérer que Df=R tout entier... je ne sais pas si c’était la réponse attendue dans la question 2a. , je ne pense pas puisque cela demande de connaitre le résultat de la question 3.

[MrBrightside]

On me demande simplement la limite de f en 0+, et elle est donc égale à ln(2).

[Luc]

On me demande simplement la limite de f en 0+, et elle est donc égale à ln(2).

oui, et f est paire...

[MrBrightside]

Exact, désolé je commence à fatiguer... Mais qu'est ce que ça m'apporte d'avoir la limite en 0-?

[Luc]

Exact, désolé je commence à fatiguer... Mais qu'est ce que ça m'apporte d'avoir la limite en 0-?

Ben ça te dit que f admet une limite a gauche et a droite en 0, et que ces limites sont égales. Donc on peut prolonger f par continuité en 0, en posant f(0)=ln(2).

[MrBrightside]

Je comprends à peu près, mais on n'avait pas dit que la fonction f n'était pas définie en 0 justement?

Et je vais avoir besoin d'aide pour la question 4) car je n'ai tout bonnement jamais appliqué le théorème de la bijection, et même en l'ayant sous les yeux je ne vois pas comment procéder...

[MrBrightside]

Pour la a) il me suffit de dire que f est continue et monotone sur R+, donc elle réalise une bijection de R*+ Df sur f(x). Et donc J=f(x) pour x>0 ?