Récurrence

par **mikey** » 19 Fév 2012, 20:08

bonjour , je sollicite votre pour un exercice portant sur la récurrence , merci d'avance . Voici l'intitulé :

P(n):"9 divise 10^n - 1" et P'(n):"9 divise 10^n + 1 "

Démontrer chacune de ces deux propriétés sont héréditaires. Sont-elles vraies pour tout 1
merci de m'aider .

par **didou31** » 19 Fév 2012, 20:17

Où est la difficulté ?

Tu le vérifies pour n = 2

Tu supposes que c'est vrai pour P(n) = ... et en t'aidant de cette supposition, tu le démontres pour P(n+1)

par **geegee** » 19 Fév 2012, 20:48

mikey a écrit:bonjour , je sollicite votre pour un exercice portant sur la récurrence , merci d'avance . Voici l'intitulé :

P(n):"9 divise 10^n - 1" et P'(n):"9 divise 10^n + 1 "

Démontrer chacune de ces deux propriétés sont héréditaires. Sont-elles vraies pour tout 1<n ?

merci de m'aider .

Bonjour,

9 divise 10^n + 1 est fausse par exemple pour n=1 9 ne divise pas 11.

par **st00pid_n00b** » 19 Fév 2012, 21:30

Si tu es en spé maths tu peux utiliser les congruences. Sinon, P(n) peut s'écrire:
"Il existe un entier k tel que 9k = 10^n - 1"
Et P(n+1):
"Il existe un entier k' tel que 9k' = 10^(n+1) - 1" (ce n'est pas le même entier)

Maintenant à toi de montrer l'hérédité pour les 2 propriétés.

Le but de l'exercice est de montrer que l'hérédité ne suffit pas, une propriété peut être héréditaire mais fausse.

par **Le_chat** » 19 Fév 2012, 23:12

Mais toutes les propriétés fausses sont héréditaires :lol3:

par **st00pid_n00b** » 20 Fév 2012, 00:05

Le_chat a écrit:Mais toutes les propriétés fausses sont héréditaires :lol3:

Mouais d'accord, (faux==>faux) est toujours vrai, mais quand on suppose P(n) vrai on n'a pas forcément une contradiction.

Par exemple la propriété "pour tout n, n est pair" est fausse et je te défie de me montrer qu'elle est héréditaire :lol3:

par **mikey** » 24 Fév 2012, 12:05

merci beaucoup pour toutes ces pistes ; j'ai donc :

Initialisation : pour n=1 on a 10^1-1=9 ainsi p(n) est divisible est vrai au rang 1

hérédité : suppons que p(n) soit vraie pour un entier supérieur ou égale a 1.
10^n+1 -1= 10^n *10 -1= 10^n *9 + 10^n -1 or par hypothèse de récurrence on a 10^n -1 =9k
ainsi 10^n *9+ 9k = 9(10^n + k) et 10^n + k est un entier donc 10^n+1 -1=9k
p(n) est vraie au rang n+1

conclusion : P(n) est vrai pour un entier supérieur ou égale a 1 .

est ce juste ???

néanmoins pour 10^n+ 1 = 9k j'ai

Initialisation : pour n=1 on a 10^1 +1 = 11 et 11 n'est pas divisible par 9 ..donc suffit-il de dire que la propriété est fausse ?? je ne comprend pas ...

merci de m'éclairer

par **st00pid_n00b** » 24 Fév 2012, 15:10

Pour la première: écris plutôt 10^(n+1) -1=9k' car ce n'est pas le même k.

Pour la deuxième: on te demande simplement de montrer l'hérédité. Puisque tu ne peux pas l'initialiser, la propriété est effectivement fausse, mais ça c'est la 2ème question.

par **mikey** » 24 Fév 2012, 16:39

pour montrer l'hérédité peut on procéder de la même manière que l'autre propriété ?? c'est à dire en faisant :

10^n+1 +1 = 10^n*10+ 1 =10^n*9 +10^n +1 = 10^n * 9+ 9k= 9(10^n +1) ??

par **Judoboy** » 24 Fév 2012, 16:50

Je comprends pas trop, la première toujours vraie pour tout n et la seconde est fausse pour tout n. Sachant qu'on a tout le temps vrai => vrai et faux => faux y a pas d'exercice en fait ?

par **st00pid_n00b** » 24 Fév 2012, 19:54

mikey a écrit:pour montrer l'hérédité peut on procéder de la même manière que l'autre propriété ?? c'est à dire en faisant :

10^n+1 +1 = 10^n*10+ 1 =10^n*9 +10^n +1 = 10^n * 9+ 9k= 9(10^n +1) ??

Oui, c'est exactement ça.

par **st00pid_n00b** » 24 Fév 2012, 19:55

Judoboy a écrit:Je comprends pas trop, la première toujours vraie pour tout n et la seconde est fausse pour tout n.

Ben oui, mais encore faut-il le démontrer.

par **Judoboy** » 25 Fév 2012, 16:17

st00pid_n00b a écrit:Ben oui, mais encore faut-il le démontrer.

Bah ça se voit quoi

(10^n)-1ça fait 9*[10^(n-1) + 10^(n-2) + .... + 10^0] (j'ai du mal avec les symboles).

En particulier c'est multiple de 3 et du coup 10^n +1 = (10^n-1) +2 n'est pas multiple de 3 donc pas multiple de 9. Enfin bref ça me paraît pas fou comme énoncé.

par **st00pid_n00b** » 25 Fév 2012, 16:42

"Ça se voit quoi" n'est pas une démonstration ;)

Je me souviens qu'avant j'avais du mal à comprendre la nécessité d'une démonstration pour ce qui paraît évident... Mais certains résultats plus avancés semblent contre intuitifs, d'où la nécessité d'être rigoureux. "Ça se voit" que si une fonction est dérivable sa dérivée est continue, et pourtant c'est faux.

Et puis le but de l'exo est de montrer que l'initialisation est importante pour la récurrence, l'hérédité ne suffit pas. Tes arguments ne montrent pas que la 2ème propriété est héréditaire.

par **Judoboy** » 25 Fév 2012, 17:12

st00pid_n00b a écrit:"Ça se voit quoi" n'est pas une démonstration

Et puis le but de l'exo est de montrer que l'initialisation est importante pour la récurrence, l'hérédité ne suffit pas. Tes arguments ne montrent pas que la 2ème propriété est héréditaire.

J'avoue j'avoue je pinaille et c'est pas du tout le but de l'exercice mais c'est plus fort que moi.

Ca peut aussi être intéressant de signaler que la 2 est toujours fausse pour "bien finir" l'exo, et ça n'est pas donné par l'hérédité (on peut montrer que P(n) est équivalent à P(n+1) ou se servir du fait que la première est toujours fausse).

par **mikey** » 25 Fév 2012, 18:45

c vrai ! en tout cas merci beaucoup à tous pour toute l'aide et les explications apportées :) !!

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