Probleme de geometrie stochastique (?)

[thomasTokyo]

Bonjour,

ceci est mon premier message sur ce forum.

J'essaye actuellement de resoudre le probleme suivant.

On considere deux points donnes S et D situes a une distance x l'un de l'autre inferieure a un rayon "r". (x =< r)
Ainsi, considerant les deux cercles Cs et Cd de rayons r centres respectivement sur S et D, on observe que les deux cercles se coupent.
Considerons maintenant un point R situe dans l'intersection des deux cercles Cs et Cd cites ci-dessus.
Tracons le cercle Cr de centre R et de rayon r.
Considerons la surface definie comme etant Cr - (Cs intersection Cd).
Cette surface a une aire non nulle en supposant R different de S ou D.

Considerons maintenant que la position de R dans l'intersection de Cs et Cd suit une distribution uniforme.
Considerons egalement deux points independants l'un de l'autre M1 et M2 dans la surface Cr - (Cs intersection Cd), chacun suivant une distribution uniforme sur Cr - (Cs intersection Cd).

Dans ce probleme, la position de R est aleatoire. Les positions de M1 et M2 sont aleatoires.
Etant x, quelle est la probabilite pour que M1 et M2 soient a une distance l'un de l'autre superieure a r?

Si l'expose n'est pas clair, n'hesitez pas a demander des clarifications.
Ma principale difficulte est que la forme du contour de Cr - (Cs intersection Cd) influence la possibilite pour deux points aleatoires d'etre a une certaine distance l'un de l'autres.

Au minimum j'aimerais montrer que cette probabilite est faible (ce qui me semble intuitif lorsque l'on trace la figure).
J'hesite sur la marche a suivre... Merci pour vos conseils.

Cordialement,

Thomas

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce problème me fait penser au problème de l'aiguille.
Si j'étais vous je commencerais par relire la démonstration de cela.
Les surfaces déterminées par l'intersection de 2 arcs de cercle posent des problèmes géométriques un peu compliqués.
Il faut trouver une variable qui soit exploitable. Dans le cas de l'aiguille, c'était (de mémoire) l'angle de l'aiguille avec l'axe des X.

[Doraki]

Si tu veux juste une estimation de la probabilité, je te conseille de faire une simulation.

Pour tirer un point au hasard dans un domaine bizarre (du genre dans un cercle ou dans une intersection de cercles ou pire), tu peux juste tirer un point uniformément dans un carré qui contient tout ça jusqu'à en obtenir un qui tombe dans le domaine voulu, et continuer avec ce point-là.


Je doute qu'un calcul symbolique exact soit possible.

[Dlzlogic]

On peut peut-être imaginer un autre approche.
Les points M1 et M2 sont dans une sorte de croissant de lune dont l'arc extérieur est de centre R et les 2 arcs intérieurs de centre S et D. Tous ces arcs sont de rayon r. Soit I et J les pointes de ce croissant, c'est à dire les intersections des cercles S et R, resp. D et R.
Si on trace les frontières délimités par les arcs de centre I et J, on obtient l'une des 2 configurations suivantes :
1- ces arcs se coupent, alors il y a une zone commune,
2- ces arcs ne se soupent pas, alors il n'y a pas de zone commune.
Les aires de ces 3 zones (ET ou OU) ont une relation directe avec la probabilité d'avoir M1-M2 > r

Mais j'arrive pas à aller plus loin.

[Sylviel]

J'en profite pour noter que la fonction rand() de C renvoie un entier et non un réel entre 0 et 1... Faut aller chercher un générateur plus orienté maths je pense. Enfin il suffit de diviser par le N max pour avoir l'uniforme voulue.

[thomasTokyo]

On peut peut-être imaginer un autre approche.
Les points M1 et M2 sont dans une sorte de croissant de lune dont l'arc extérieur est de centre R et les 2 arcs intérieurs de centre S et D. Tous ces arcs sont de rayon r. Soit I et J les pointes de ce croissant, c'est à dire les intersections des cercles S et R, resp. D et R.
Si on trace les frontières délimités par les arcs de centre I et J, on obtient l'une des 2 configurations suivantes :
1- ces arcs se coupent, alors il y a une zone commune,
2- ces arcs ne se soupent pas, alors il n'y a pas de zone commune.
Les aires de ces 3 zones (ET ou OU) ont une relation directe avec la probabilité d'avoir M1-M2 > r

Mais j'arrive pas à aller plus loin.

J'en suis arrive a peu pres au meme raisonnement.
J'ai trouve que la distribution de distance entre deux points uniformement distribues est connue dans la litterature [1], mais le calcul pour une surface non-isotropique semble tres complexe.
Je compte egalement separer le probleme en deux cas.
Le premier est lorsque une seule surface Cr - (Cs intersect Cd) apparait au-dessus de Cs et Cd.
Le deuxieme est lorsque R est proche de la droite (SD) et par consequent Cr - (Cs intersect Cd) est composee de deux surfaces separees, une de chaque cote du couple de cercles Cs,Cd.
Le calcul de probabilite pour les points M1 et M2 serait different dans chacun des deux cas.

Je pense que je vais proceder avec l'approche de Dlzlogic et cette derniere idee.
Autrement, il faudra passer par une simulation j'imagine.

Merci a tous pour vos commentaires.

[1] http://www.nd.edu/~mhaenggi/pubs/tvt09.pdf

[mathelot]

Bonjour,

Les homographies et l'inversion complexe conservent l'ensemble des droites-cercles.

Par inversion dans le plan complexe, les cercles Cd et Cs deviennent des droites.
Le disque Dr reste un disque

Dans les triangles , les distances (longueurs de côtés) sont proportionnelles
au sinus des angles (loi des sinus)

il faudrait p-e voir ce que deviennent les probas uniformes par homographies et inversion
et comment ces transformations planes modifient les angles et les distances.

le truc serait de tout transporter sur la sphère S2 (sphère de Riemann) et de transposer les distances
euclidiennes en longueurs d'arc de cercle. les triangles sphériques ont des propriétés amusantes.

après, où je suis du même avis que Dlzlogic, la modélisation probabiliste (qu'on soit sur la sphère S2 ou dans le plan euclidien) dépend du modèle choisi (paradoxe de Bertrand)

Il est possible que des transformations (géométriques) simplifient la géomètrie du problème.
Après, au niveau probas, est-ce qu'on risque pas de tomber sur des lois de probas
sans moments (style loi de Cauchy ?)

[Dlzlogic]

Bonjour,
On emploie dans ce problème le terme de "probabilité". Je ne sais pas s'il est très approprié. Soit un carré séparé en 2 par une limite quelconque, telle que s1 + s2 = S.
On lance un objet dans le carré. "Quelle est la probabilité qu'il tombe dans s1 ?". Il ne s'agit pas là de probabilité, ni même de dénombrement, il n'y a pas de "loi de probabilité" qui entre en ligne de compte. Si on veut faire une simulation, il ne faut surtout pas utiliser un générateur de nombre aléatoire, mais une expérience systématique pour avoir une couverture uniforme.
Je me permet d'insister sur ce point, ce terme provoque facilement une levée de boucliers. D'ailleurs, il y a pas mal de choses (messages ou parties de message) qui ont disparu.

[Sylviel]

Si si, il s'agit bien de proba (note pour thomas qui est nouveau : Dlzlogic est connu pour son incompréhension notable des probas, ou du moins pour en avoir une compréhension différente de tous les autres intervenants). Ici on parle bien d'une loi uniforme sur un sous ensemble borrélien borné de R².

Les messages n'ont pas "disparus" ils ont été scindé pour ne pas empiéter sur cette discussion car ne relevant pas de ce sujet. lien

[Doraki]

Bonjour,
On emploie dans ce problème le terme de "probabilité". Je ne sais pas s'il est très approprié. Soit un carré séparé en 2 par une limite quelconque, telle que s1 + s2 = S.
On lance un objet dans le carré. "Quelle est la probabilité qu'il tombe dans s1 ?". Il ne s'agit pas là de probabilité, ni même de dénombrement, il n'y a pas de "loi de probabilité" qui entre en ligne de compte. Si on veut faire une simulation, il ne faut surtout pas utiliser un générateur de nombre aléatoire, mais une expérience systématique pour avoir une couverture uniforme.
Je me permet d'insister sur ce point, ce terme provoque facilement une levée de boucliers. D'ailleurs, il y a pas mal de choses (messages ou parties de message) qui ont disparu.

Il a été explicitement dit que tous les points étaient tirés selon la distribution uniforme dans leurs domaines respectifs, ce qui signifie que la probabilité pour un point d'être dans une région du domaine est proportionnelle à l'aire de cette région.
"Quelle est la probabilité qu'il tombe dans s1 ?" est une question de probabilité et d'après la définition de distribution uniforme dans le contexte que tu as donné, la réponse est s1/S.

S'il te plaît évite de raconter n'importe quoi sur chaque topic de probabilités.

[Dlzlogic]

Il a été explicitement dit que tous les points étaient tirés selon la distribution uniforme dans leurs domaines respectifs, ce qui signifie que la probabilité pour un point d'être dans une région du domaine est proportionnelle à l'aire de cette région.
"Quelle est la probabilité qu'il tombe dans s1 ?" est une question de probabilité et d'après la définition de distribution uniforme dans le contexte que tu as donné, la réponse est s1/S.

S'il te plaît évite de raconter n'importe quoi sur chaque topic de probabilités.

Et qu'ai-je dit d'autre?
J'ai dit
1- l'utilisation d'un générateur de nombre aléatoire est à éviter pour ce genre de calcul, il faut faire une étude uniforme, donc systématique.
2- le difficulté du problème n'est pas dans le domaine des probabilités (loi de Cauchy ?) mais dans le domaine de la géométrie. Il est bien évident que la réponse s1/S était sous-entendue, tellement évidente.
C'est vraiment "n'importe quoi" ?

[Sylviel]

Ben tu as dis qu'il n'y avais pas de loi de probabilité qui rentrait en compte. Si : la loi uniforme. Tu dis qu'il ne faut "surtout pas" utiliser un générateur de nombre aléatoire : faux, on peut en utiliser un. Les avantages sont (globalement) les suivants :
- on a un résultat de convergence (probabiliste)
- on peut choisir comme on veut le nombre de termes à calculer, et par conséquent la précision de l'estimation (alors qu'avec une étude exhaustive c'est plus complexe)
- on peut utiliser l'artillerie probabiliste déjà existante (ici je ne vois pas d'outils particuliers mais bon)

Après savoir s'il vaut mieux faire du monte carlo (tirage aléatoire), du quasi-monte carlo (tirage réparti de manière "uniforme"), ou du systématique : ça demande une bonne connaissance des diverses méthodes, de leurs avantages et leurs inconvénients pour le problème posé.

d'ailleurs ici être systématique demande de quadriller non pas [0,1]², mais [0,1]^6 , ce qui fait beaucoup de points, non ?

Au final la réponse sur laquelle on est d'accord :
- obtenir une formule explicite c'est pas évident du tout (et demande certainement des astuces géométriques)
- avoir une estimation peut se faire par simulation

[thomasTokyo]

Merci a tous pour vos messages. Je n'avais pas pense a varier la geometrie du probleme pour essayer d'obtenir une des expressions plus simples. Cependant j'ai peur que ce soit alors la distribution des points qui se complexifie (simple hypothese a verifier).

Un point assez basique qui me titille par contre concerne les probabilites elle-memes aleatoires. Je m'explique. Considerons la surface Cr - (Cs inter Cd) et que l'on note A(S,D,R).
L'aire de cette surface est deterministe lorsque les points S,D,R prennent des valeurs fixes (S=s, D=d, R=r).

Considerons maintenant que Cs, Cd, Cr sont tous inscrits dans une plus grande surface d'aire finie que nous appelons T. (T comme table, vous pouvez imaginez que vous posez le probleme sur la table et comme toute table, elle a une aire finie). On ne se soucie pas des effets de bords (voir plus loin pourquoi).

Considerons ensuite un point M uniformement distribue sur la table T. Le but de la table T est d'avoir une surface englobant les trois cercles Cs, Cd, Cr et de donner une probabilite non nulle que le point M tombe a cote A(S,D,R) et que cette probabilite ne soit influencee que par A(S,D,R).

La probabilite que ce point M tombe dans A(S,D,R) est deterministe si l'aire A(S,D,R) est deterministe. C'est a dire que:
Prob{M est dans A(S=s,D=d,R=r)} = aire(A(s,d,r)) / aire(Table)

Maintenant,considerons que les points S, D, R sont aleatoires uniformement distribues sur la table, mais avec les conditions suivantes:
Cs et Cd se coupent et R est dans leur intersection.

Avec ce conditionnement, peut-on exprimer une probabilite deterministe que le point M soit dans l'aire A(S,D,R)? C'est a dire: Prob{M est dans A(S,D,R) sachant que SD
Il apparait que l'aire de A(S,D,R) depend uniquement des distances entre S,D et R. Par consequent, on peut arbitrairement placer le point S au centre de la table T et oublier les problemes de bords.

Je suis tente de determiner tout d'abord la distribution conjointe des variables S,D,R. Puis de calculer l'aire moyenne de A(S,D,R) en ponderant chaque A(S=s,D=d,R=r) par la distribution conjointe des variables S,D,R, puis de sommer.
Il suffit ensuite de diviser par l'aire de la table pour avoir la probabilite recherchee.

Cependant, ceci est mon intuition et je ne suis pas sur des fondements mathematiques. Quelles sont les proprietes d'une probabilite etant elle-meme aleatoire? (c'est a dire fonction de parametres aleatoires).

Merci beaucoup pour votre attention et pour vos avis.

Thomas

[Doraki]

Maintenant tu considères que S et D aussi sont tirés au sort ?

Fais gaffe, ça n'a pas de sens de tirer au sort sur une table infiniment grande.
Par exemple, ça n'a pas de sens de parler de "la probabilité d'obtenir un point à distance <= r de l'origine quand on tire un point au hasard uniformément dans le plan" parcequ'on ne peut pas tirer un point au hasard uniformément dans le plan.

Ce qui est vraiment important pour la suite ce n'est pas la position exacte des points S et D, mais seulement la distance x entre ces deux points (donc si tu veux ensuite calculer des probabilités, c'est la distribution de x qu'il faut connaître).

Une manière de modéliser ton problème est de fixer S quelquepart puis de tirer D uniformément dans le cercle de centre S et de rayon r (puisque tu supposes que d(S,D) < r).
Mais comme t'es pas très clair et qu'on ne sait pas trop ce que tu fais, je sais pas si c'est convenable.
Par exemple la table on sait pas si c'est un truc abstrait arbitraire pour aider à raisonner où si c'est un vrai truc fixé auquel cas j'aurais moins peur de ton "diviser par l'aire de la table".

[thomasTokyo]

Bonjour Doraki,

Je suis d'accord avec toi mon dernier enonce n'est pas clair.

Si je procede dans l'ordre suivant les choses sont-elles plus claires?

On fixe un point S dans un plan infini (on cree une origine).
Considerons un point D aleatoire uniformement distribue sur le cercle de centre S et de rayon r.
Considerons ensuite un point R aleatoire uniformement distribue sur l'intersection des cercles de centre S et D.
On nomme Cs, Cd et Cr les cercles de centre S, D, R, respectivement.
Soit A(S,D,R) la surface formee par l'intersection des trois cercles.
Tracons maintenant une surface d'aire finie incluant ces trois cercles et que l'on nomme T.
Considerons un point M aleatoire uniformement distribue sur T.
Quelle est la probabilite que M soit dans A(S,D,R)?

Je suis tente de determiner tout d'abord la distribution conjointe des variables S,D,R. Puis de calculer l'aire moyenne de A(S,D,R) en ponderant chaque A(S=s,D=d,R=r) par la distribution conjointe des variables S,D,R, puis de sommer.
Il suffit ensuite de diviser par l'aire de la table pour avoir la probabilite recherchee.

Cependant, ceci est mon intuition et je ne suis pas sur des fondements mathematiques. Quelles sont les proprietes d'une probabilite etant elle-meme aleatoire? (c'est a dire fonction de parametres aleatoires).

Encore merci.
J'adore ce forum et je compte bien participer a plus de discussions des que j'en aurai le temps.
Pour le moment, ce n'est pas trop le cas malheureusement. :s

Thomas

[Doraki]

Je suis tente de determiner tout d'abord la distribution conjointe des variables S,D,R. Puis de calculer l'aire moyenne de A(S,D,R) en ponderant chaque A(S=s,D=d,R=r) par la distribution conjointe des variables S,D,R, puis de sommer.

Oui c'est le bon principe, sauf que théoriquement tu vas avoir du mal à sommer, à la place c'est une intégrale multiple que tu dois avoir.

Pour ce qui est de la table, on a l'impression qu'elle dépend de S,D,R. Si c'est le cas je trouve ton processus bizarre et il faut diviser par l'aire de la table pour chaque S,D,R avant de faire la moyenne pondérée. La probabilité à S,D,R fixés, de quand on tire M au hasard uniformément dans T, qu'il aterisse dans l'inersection des cercles, est A(S,D,R)/aire(T).


T'as abandonné le problème que tu décrivais dans le 1er post ?

[thomasTokyo]

Oui c'est le bon principe, sauf que théoriquement tu vas avoir du mal à sommer, à la place c'est une intégrale multiple que tu dois avoir.

Pour ce qui est de la table, on a l'impression qu'elle dépend de S,D,R. Si c'est le cas je trouve ton processus bizarre et il faut diviser par l'aire de la table pour chaque S,D,R avant de faire la moyenne pondérée. La probabilité à S,D,R fixés, de quand on tire M au hasard uniformément dans T, qu'il aterisse dans l'inersection des cercles, est A(S,D,R)/aire(T).


T'as abandonné le problème que tu décrivais dans le 1er post ?

Merci pour ton commentaire. Le premier probleme n'est pas abandonne. Mais etant donne sa complexite, je l'ai mis de cote pour le moment. Je me concentre sur ce que je trouve faisable et simple en premier.

Donc pour le second probleme, je procederais ainsi.

Dans la suite SD est la distance aleatoire entre les points S et D. R denote la position du point aleatoire R. r0 est le rayon des cercles attribues a chacun des points S, D et R.

Remarquons d'abord que la position de A(S,D,R) n'a pas d'importance du point de vue de M, etant donne que M est uniformement distribue. Par consequent on peut definir cette surface par les distances SD,DR,SR. Ou on peut utiliser la distance SD et la position de R. On peut donc exprimer la probabilite de M dans cette surface par:

Prob{M est dans A(SD,R) sachant aire(A(SD,R)) non nulle}
= E[ Prob{M est dans A(SD,R) sachant aire(A(SD,R)) non nulle} ]

Ou E[.] indique la valeur moyenne conjointe sur la distance aleatoire SD et la position de R conditionnes sur aire(A(SD,R)) non nulle. On note cette condition A!0.

On obtient en effet une integrale multiple contenant le produit de
Prob{M est dans A(SD=sd, R=r) sachant A!0}
et de:
densite conjointe des distances (SD,R) conditionnees sur A!0.

Cette densite peut-etre decomposee en produit de densites conditionelles.
f(sd, r / A!0) = f(sd / A!0) . f(r / sd, A!0)

f(sd/A!0) est la densite d'un point aleatoire D distribue uniformement sur le cercle de centre D et rayon r0.
f(r / sd,A!0) est la densite d'un point aleatoire R distribue uniformement sur l'intersection des cercles Cs et Cd de centre S et D respectivement.

Enfin, Prob{M est dans A(SD=sd, R=r) sachant A!0} est donnee par le rapport de l'aire de A(SD=sd, R=r) et de l'aire de la table T.

Ensuite, on essaye d'integrer tout ca ^_^.

J'apprecie grandement toute critique! Merci encore

[Doraki]

Si j'ai bien compris, A(SD;R) c'est bien le disque de centre R privé de l'intersection des 2 disques de centres S et D (où tous les cercles ont même rayon) ?

Alors l'aire de A(SD;R) = Aire du disque de centre R - aire de l'intersection des 3 disques.
Pour que ce soit nul il faudrait donc que les 3 disques soient confondus, donc que S=D=R.
Du coup ta condition "aire de A(SD,R) non nulle" est vérifiée presque tout le temps. (à moins que j'ai mal compris un truc).

Encore une fois ça m'étonnerait vraiment que tu arrives à calculer l'espérance de l'aire de A(SD;R) symboliquement. Déjà calculer l'aire de A(SD;R) en général je vois pas tellement comment on peut faire.
Et puis intégrer ça derrière selon la distribution de SD et R, ça ne promet rien.

[thomasTokyo]

Si j'ai bien compris, A(SD;R) c'est bien le disque de centre R privé de l'intersection des 2 disques de centres S et D (où tous les cercles ont même rayon) ?

Alors l'aire de A(SD;R) = Aire du disque de centre R - aire de l'intersection des 3 disques.
Pour que ce soit nul il faudrait donc que les 3 disques soient confondus, donc que S=D=R.
Du coup ta condition "aire de A(SD,R) non nulle" est vérifiée presque tout le temps. (à moins que j'ai mal compris un truc).

Encore une fois ça m'étonnerait vraiment que tu arrives à calculer l'espérance de l'aire de A(SD;R) symboliquement. Déjà calculer l'aire de A(SD;R) en général je vois pas tellement comment on peut faire.
Et puis intégrer ça derrière selon la distribution de SD et R, ça ne promet rien.

A(SD,R) est la surface formee par l'intersection des trois cercles de centre S, D et R.
La formule pour determiner l'aire d'une telle surface lorsque les points S,D et R sont fixes est connue[1].
Par contre la formule est tres lourde. Une expression litterale existe peut-etre mais la trouver prendrait des dizaines de pages de brouillon. Je pense que le calcul est faisable par ordinateur cependant.

Merci pour ton commentaire.

[1] http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA463920

[Doraki]

Ben dans ce cas, sachant que R est dans l'intersection des deux premiers disques, encore une fois l'aire sera non nulle presque tout le temps (le seul cas où elle ne l'est pas c'est quand les disques Cs et Cd sont tangents)

ou alors tu l'as pas dit mais t'as changé la manière de piocher R.