Définitions élémentaires

[bfure]

1- A est un ensemble vide ssi il n'existe aucune bijection de A vers lui-même
2- A est un point si pour tout ensemble B non vide il existe au moins une surjection de B vers A
Ensuite, à partir de 1 et 2, on définit la droite le plan l'espace etc...

[Ben314]

1- A est un ensemble vide ssi il n'existe aucune bijection de A vers lui-même
2- A est un point si pour tout ensemble B non vide il existe au moins une surjection de B vers A
Ensuite, à partir de 1 et 2, on définit la droite le plan l'espace etc...

ça, c'est pas de pot : il existe une (et exactement une) bijection de l'ensemble vide dans lui-même.
Ensuite, il manque aussi le "détail" de savoir, une fois les points définis, comment tu défini les droites.

[bfure]

Pourrais tu me citer les sources concernant la bijection de l'ensemble vide vers lui-même SVP

[Ben314]

RAPPELS :
Par définition, une application de A dans B, c'est une partie G du produit AxB telle que :
"Pour tout x de A, il existe un unique y de B tel que (x,y) soit dans G"
Toujours par définition, une fonction est bijective lorsque en plus on a :
"Pour tout y de B, il existe un unique x de A tel que (x,y) soit dans G"

Si A=B=ensemble_vide, on prend G=ensemble_vide (qui est bien contenu dans AxB) et les deux phrases çi dessus sont vérifiées vu que toute phrase commençant par :
"pour tout ? dans ensemble_vide ..."
est vrai.

Tu vérifiera que, de façon plus générale, quelque soit l'ensemble B, il existe une et une seule application de l'ensemble vide dans B, mais que cette application n'est bijective que lorsque B est lui aussi vide.

[Doraki]

Bah l'ensemble vide est une bijection de l'ensemble vide dans lui même.
Tout élément de l'ensemble vide est associé à un unique élément de l'ensemble vide et réciproquement.

Et c'est la seule parcequ' une application sur ou vers l'ensemble vide ça ne peut être que l'ensemble vide.

[bfure]

RAPPELS :
Par définition, une application de A dans B, c'est une partie G du produit AxB telle que :
"Pour tout x de A, il existe un unique y de B tel que (x,y) soit dans G"
Toujours par définition, une fonction est bijective lorsque en plus on a :
"Pour tout y de B, il existe un unique x de A tel que (x,y) soit dans G"

Si A=B=ensemble_vide, on prend G=ensemble_vide (qui est bien contenu dans AxB) et les deux phrases çi dessus sont vérifiées vu que toute phrase commençant par :
"pour tout ? dans ensemble_vide ..."
est vrai.

Tu vérifiera que, de façon plus générale, quelque soit l'ensemble B, il existe une et une seule application de l'ensemble vide dans B, mais que cette application n'est bijective que lorsque B est lui aussi vide.

Problème :
L'ensemble vide est fini et son cardinal est 0 : Card(;)) = 0
"pour tout x de A" si A est l'ensemble vide n'a pas de sens

[Doraki]

Pourtant on le dit souvent quand on fait des raisonnements par l'absurde !

[bfure]

Pourtant on le dit souvent quand on fait des raisonnements par l'absurde !

Pourrais tu me donner un exemple simple SVP ?

[Doraki]

Prouvons que racine(2) est irrationnel.

Soit donc (a,b) dans l'ensemble E = {(a,b) dans Z x Z*, tels que pgcd(a,b)=1 et a/b = racine(2)}.
a²/b² = 2 donc a²=2b² donc a est pair donc il existe a' tel que a = 2a', et donc b²=2a'² et donc b est pair.
Donc 2 divise pgcd(a,b) = 1.
J'ai donc montré que pour tout (a,b) de E, 2 divise 1.

Donc E est en fait l'ensemble vide, et j'ai quand même prouvé que pour tout (a,b) dans l'ensemble vide, 2 divise 1.

[Ben314]

...Card(;)) = 0

Ton histoire de cardinal de l'ensemble vide, ça me fait aussi penser à la théorie des cardinaux :
"Deux ensembles ont même cardinal ssi il existe une bijection de l'un sur l'autre."
S'il n'existait pas de bijection de l'ensemble vide dans lui même, l'ensemble vide n'aurait pas le même cardinal que... lui même :triste:

[bfure]

Ton histoire de cardinal de l'ensemble vide, ça me fait aussi penser à la théorie des cardinaux :
"Deux ensembles ont même cardinal ssi il existe une bijection de l'un sur l'autre."
S'il n'existait pas de bijection de l'ensemble vide dans lui même, l'ensemble vide n'aurait pas le même cardinal que... lui même :triste:

Oui c'est comme le nombre de bijection d'un ensemble vers lui-même est n! ou n est le cardinal or 0!=1.
Peut-on dire alors que l'ensemble vide est définie comme étant un ensemble avec lequel on peut définir une surjection non bijective avec tous les autres ensembles et en particulier les points. on frôle le paradoxe.

[Imod]

On arrête de parler de démonstration par l'absurde ou je vais chercher Léon :ptdr:

Imod

[Ben314]

Peut-on dire alors que l'ensemble vide est définie comme étant un ensemble avec lequel on peut définir une surjection non bijective avec tous les autres ensembles et en particulier les points. on frôle le paradoxe.

Je comprend pas trop : si on prend l'ensemble vide comme ensemble de départ, alors, quelque soit l'ensemble d'arrivé, il y a une unique application qui est systématiquement injective, mais n'est surjective que lorsque l'ensemble d'arrivé est lui aussi vide.
Par contre, si l'ensemble d'arrivé est vide et pas celui de départ, il n'y a aucune application.

Et dans tout ça, je ne vois absolument rien qui permette de définir les points (ou les singletons) ni quoi que ce soit qui ressemble à un paradoxe.

[Imod]

En lisant ce fil comme plusieurs autres récents , je comprends ce qui animait les bourbakistes . On pose les données dès le départ pour savoir à quel jeu on joue . Le projet était certainement trop ambitieux et présentait le défaut majeur de faire trop d'abstraction sans application concrète immédiate . Pour faire rêver certains , les relations d'ordre et d'équivalences , les notions de groupe et corps , axiomatique de la droite et du plan dès le collège ...

Ceux qui s'en sortaient étaient droits dans leurs bottes et savaient de quoi ils parlaient . Maintenant on ne pose plus les choses on démontre le moins possible en mettant l'expérimentation et l'intuition en avant . Ce n'est certainement pas plus mal mais comme toujours l'équilibre est difficile à trouver surtout quand chacun prend systématiquement le contre pied du prédécesseur sans faire aucun bilan .

Imod

[benekire2]

Ben , en fait quand tu y réfléchis, a toute définition qu'on a pu donner du point dans ce thread , la seule qui tienne est " un élément d'un espace affine" , c'est plus abstrait que "une petite tache sur une feuille " mais pourtant c'est très clair.

Imod >> Actuellement , en Terminale par exemple, je pense que faire toutes les démos en cours serait pas super utile , il faudrait surtout faire des exos , les démonstrations quasiment tout le monde s'en fout :cry:

J'ai le Bourbaki I (Théorie des ensembles) et il faudrait que je le lise dans quelques temps, j'avais commencé , mais le passage sur le "langage mathématique" m'a sacrément refroidi ... :cry:

[beagle]

que la définition "élément d'un espace affine" soit plus générale et plus "facile "à manier,...OK

mais quand tu lis la définition d'un espace affine pour lire ça:
"Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de longueur et d'angle, qui reposaient elles-mêmes sur celle de distance, et poussèrent à redéfinir l'espace euclidien, en excluant ces notions et tout ce qui s'y rapportait. Le résultat fut une géométrie affine, où l'espace apparait comme une structure algébrique, voisine de celle d'espace vectoriel qui en fut dégagée par la suite (donnant ainsi naissance à l'algèbre linéaire).

Sommaire [masquer]
1 Définitions
1.1 Propriétés élémentaires
1.2 Exemples d'espaces affines
1.2.1 Plan affine
1.2.2 Espace affine tridimensionnel
1.2.3 Espace affine de dimension n
1.2.4 Généralisation : espace affine construit à partir d'un espace vectoriel
2 Sous-espaces affines
3 Notion de parallélisme
4 A voir aussi...


Définitions [modifier]
Il existe de nombreuses manières de définir un espace affine (voir l'article « Structure affine »). Ici, nous supposons donnés :

un corps ( , + , x ) , noté « » en abrégé, d'éléments neutres « 0 » pour la loi additive et « 1 » pour la loi multiplicative ;
les éléments du corps sont habituellement appelés « scalaires » et notés par des lettres grecques minuscules : ,...
un espace vectoriel ( , , · ) sur ce corps, noté « » en abrégé, d'élément neutre « » ;
les éléments de l'espace vectoriel sont appelés « vecteurs » et notés par des lettres latines minuscules surmontées d'une flèche : , ,...
et un ensemble non vide, à partir duquel nous allons construire notre espace affine ;
ses éléments seront appelés « points » et notés par des lettres latines majuscules : ,...
remarque : les couples d'éléments de , éléments de , seront appelés « bipoints », conformément à la tradition. De même, le premier élément d'un tel couple sera appelé « origine » du bipoint, et le second élément « extrémité » du bipoint. "

Alors le point est l'élément d'un espace affine constitué d'éléments qui sont des points.
j'ose mème pas demander la définition de l'origine et de l'extrémité du bipoint,c'est le bout de devant et le bout de derrière?...

Cela n'enlève rien à la force de ce truc, mais le présenter comme explicatoire, définitatoire, hum ...
Plus généralatoire, plus manialatoire sans doute,...

[Galax]

J'entends encore mon prof de math en terminale nous marteler :
"Les vecteurs sont des points, et les points sont des vecteurs."

[Doraki]

Ton prof de maths il a rien compris aux espaces affines.

[beagle]

j'ai compris une partie du malentendu.
Cela vient du mot définition.
Fallait commencer par là.
Définir définition, sans cela nous parlons de choses différentes et c'est la source première des soucis légers et badins néanmoins de ce fil.

Il me semble que les pros comme Ben, comme Night sur d'autres fils pour prendre des gens qui ont répondu,
ces pros utilisent définition pour comme l'avait pourtant très bien expliqué Ben, mais faut lze temps que cela rentre,
pour avoir des définitions plus carrées, laissant moins de place aux ambiguités pouvant générer des incompréhensions , des paradoxes, d'autres trucs pas sympa,...
Alors les histoires d'espace affine, vecteurs, éléments sont ces définitions qui non seulement élargissent les anciennes, mais aussi les rationalisent.

Alors que quelques uns, moi compris, partons de la définition de définition: qui permet de bien décrire un truc, certes moins rigoureusement, mais plus parlant.

Exemple: définir chat
il y aura la définition scientifique de l'espèce ..., définition du véto etc...
et il y aura ceux qui disent la bestiole à poils qui ronronne,...

Ensuite entre les deux modes de définition, tout dépendra de la culture de la personne, ceux-ce habitués aux espaces raffinés, mélangeront dans leur compréhension différentes defs qui se feront écho et se renforceront, alors que pour un novice: élément d'un espace affine, cours toujours pour avoir un support à manier le concept point avec ce truc.
Donc sont intéressants les renforcements de compréhension,
par exemple la droite numérique-nombres et la droite-segments-points géométriques se renforcent, la compréhension de l'un s'appuie sur l'autre et permet de mieux aborder l'autre aussi,...

Ouf, point!

[Galax]

Ton prof de maths il a rien compris aux espaces affines.

Peut etre mais je trouve que se dire qu'un vecteur est finalement représentable par ses coordonnées et donc par un point, permettait de comprendre d'autres choses, que la représentation "classique" avec une grande flèche rendait un peu obscures.