Exercice "facile" sur Laplacien

[Bitman]

Merci de ces explication :)
Mais mon prof nous a peut-être mal expliqué quelque chose ( ou j'ai très probablement mal compris ) Mais en gros si j'ai df/dx ( pour le gradient par exemple ), pour avancer je fais :
df /dx = ( df / dr )( dr / dx )

Mais ducoup, lorsque j'ai d²f / dx², je dis :
d²f/dx² = ( d²f / dr )( dr / dx² )

Cela est faux ?

[Ben314]

Merci de ces explication
Mais mon prof nous a peut-être mal expliqué quelque chose ( ou j'ai très probablement mal compris ) Mais en gros si j'ai df/dx ( pour le gradient par exemple ), pour avancer je fais :
df /dx = ( df / dr )( dr / dx )

Mais ducoup, lorsque j'ai d²f / dx², je dis :
d²f/dx² = ( d²f / dr )( dr / dx² )

Cela est faux ?

Oui, c'est faux : ça ne marche que pour les dérivées premières (et en plus, la formule est un peu plus compliquée que ça dans le cas où f est aussi une fonction de plusieurs variables)
pour les dérivées seconde, il faut dire que, comme df /dx = (df/dr).(dr/dx) on a
d²f/dx² = d/dx [(df/dr).(dr/dx)] que tu dérive comme un produit (c'est un produit !!!)

Mais, je préfère pas trop aller plus loin car ce type de notation "df /dx = ( df / dr )( dr / dx )" ne m'est pas familier du tout donc je vais écrire des conneries...

[Bitman]

Ok :we:
Merci beaucoup pour tout ces éclaircissements. :we:

[Arkhnor]

Pour moi le gradient a toujours été un vecteur cela dit, je ne suis pas un expert en analyse vectorielle.

La fonction f est une fonction d'une variable, donc son gradient est un vecteur avec une composante (un scalaire à peu de choses près)
L'expression désigne un vecteur de .

Sauf erreur de ma part, pour que deux vecteurs soient égaux, la moindre des choses serait qu'ils appartiennent au même espace vectoriel ...

[Bitman]

C'est encore moi....
Je suis désolé mais c'est encore pour le même type d'exercice, mais en coordonnée polaire.
http://dl.dropbox.com/u/14698843/gradient2.jpg

En gros je déduis que f(x,y) = g( r(x,y) , (x,y) )

Dans la correction, il font ainsi :
df/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx)
Je veux bien les croire mais... comment arriver à ça ? C'est une "formule" ?

Merci encore une fois...

[Ben314]

En gros je déduis que f(x,y) = g( r(x,y) , (x,y) )

C'est bien ça, mais le petit inconvénient de cette écriture, c'est que l'expression de (x,y) n'est pas super simple (par contre r(x,y)=racine(x²+y²) est assez simple)
Perso, cela me conduit souvent à plutôt partir de g(r,;))=f(x(r,;)),y(r,;))) où x(r,;))=r.cos(;)) et y(r,;))=r.sin(;)).

Dans la correction, il font ainsi :
df/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx)
Je veux bien les croire mais... comment arriver à ça ? C'est une "formule" ?

Oui, c'est une "formule classique" à savoir "par coeur" : c'est à celle là que je faisait référence dans mon post de hier 1h20.

[Bitman]

Merci j'ai essayé de chercher une démonstration mais n'en ai pas trouver...
Tempis, je bloque de toute façon toujours plus loin dans l'exercice...
g(r,;))=f(x(r,;)),y(r,;)))

J'ai df/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx) = (dg / dr)(x / r) - (dg / d;))(y / r²)

Et ensuite pour d²f/dx² = (d(dg/dr)/dx)(x / r) + ..............

Et je suis de nouveau bloqué avec d(dg/dr)/dx, qu'est-ce que j'en fais de ça ?

EDIT : Je viens peut-être de comprendre quelque chose, est-ce que df/dx = dg/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx) ?

[Ben314]

df/dx = dg/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx) = (dg / dr)(x / r) - (dg / d;))(y / r²) (*)

ça me semble parfaitement O.K.
Ensuite, effectivement, tu écrit d²f/dx² = d/dx [ (dg / dr)(x / r) - (dg / d;))(y / r²) ]

et, pour ton d/dx(dg/dr), il te suffit d'appliquer la formule (*) à la fonction g=dg/dr.
Bien entendu, danc ce contexte, le dg/dr devient un d²g/dr² et le dg/d;) devient un d²g/drd;).

Idem pour d/dx(dg/ d;)), où tu applique la formule (*) à la fonction g=dg/d;)...

[Bitman]

Merci énormément, je pense avoir tout compris :)

[Doraki]

Dis-toi que f et g sont la "même" fonction, mais dont les variables sont différentes,
f c'est la version où les variables sont x et y,
g c'est la version où les variables sont r et ;).

Donc quand je vois un "dg/dx" normalement ça veut rien dire vu que x n'est pas une variable de g.

Si tu veux retrouver l'égalité df/dx = dg/dr * dr/dx + dg/d;) * d;)/dx,
il suffit simplement de regarder l'égalité f(x,y) = g(r(x,y),;)(x,y)) et dériver par rapport à x.

[Bitman]

Oui mais alors comment ferais tu pour d/dx(dg/dr), dg / dr étant une fonction où les variables sont r et ;)
En fait j'aime bien voir g comme g(r(x,y),;)(x,y)), ainsi on peut selon moi dire que g dépend de x et de y

Et je comprends mieux l'égalité sous cette forme : dg/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx)
Que sous celle-là : df/dx = (dg / dr)(dr / dx) + (dg / d;))(d;) / dx)

Enfin c'est certainement des notions que je n'ai pas encore assez absorbées...

[Doraki]

Ben il suffit de dériver 2 fois mais cette fois-ci je vais garder les variables et les arguments explicites :

f(x,y) = g(r(x,y),;)(x,y))

on dérive :

df/dx(x,y) = dg/dr(r(x,y),;)(x,y)) * dr/dx(x,y) + dg/d;)(r(x,y),;)(x,y)) * d;)/dx(x,y)

on dérive une deuxième fois :

d²f/dx²(x,y) = d²g/dr²(r(x,y),;)(x,y)) * (dr/dx(x,y))² + 2 d²g/drd;)(r(x,y),;)(x,y)) * dr/dx(x,y) * d;)/dx(x,y) + d²g/d;)²(r(x,y),;)(x,y)) * (d;)/dx(x,y))² + dg/dr(r(x,y),;)(x,y)) * d²r/dx²(x,y) + dg/d;)(r(x,y),;)(x,y)) * d²;)/dx²(x,y).

Si tu fais bien attention avec les variables et les arguments, normalement tu peux dériver n'importe quoi.
C'est quand tu as des variables implicites et des changements de variables implicites qu'on y voit plus rien.

On est tenté de dire df/dx = dg/dr * dr/dx + dg/d;) * d;)/dx, c'est compréhensible et c'est acceptable, mais là il y a beaucoup d'informations qui sont cachées et dont tu as besoin quand tu veux continuer à dériver.

[Bitman]

D'accord merci bien :)