Exercice "facile" sur Laplacien

[Bitman]

Salut
J'ai du mal sur un petit exercice...
http://dl.dropbox.com/u/14698843/maths.jpg

J'ai fais la question 1, en partant sur grad(f(r)) = (df/dx, df/dy, df/dz), même si ça semble intuitif, j'ai un peu de mal a comprendre.
Je serais plus partit sur grad(f(r)) = df/dr ....

Mais passons à la question 2.
J'arrive après quelques lignes à laplacien(f(r)) = (2/r)(d²f / dr)
Mais je ne sais pas comment continuer....

Merci de votre aide

[Nightmare]

Salut
J'ai du mal sur un petit exercice...
http://dl.dropbox.com/u/14698843/maths.jpg

J'ai fais la question 1, en partant sur grad(f(r)) = (df/dx, df/dy, df/dz), même si ça semble intuitif, j'ai un peu de mal a comprendre.
Je serais plus partit sur grad(f(r)) = df/dr ....

Que signifie df/dx, df/dy et df/dz ici? f est une fonction d'une variable...

Quelle est ta définition du gradient pour un champ scalaire quelconque?

[Ben314]

Que signifie df/dx, df/dy et df/dz ici? f est une fonction d'une variable...

Sauf erreur, c'est des notations "à la physicienne" (c'est pour ça que j'ai laissé tomber) : le 'r' (pas en gras) désigne la fonction (x,y,z)->sqrt(x²+y²+z²) et f(r), c'est la composée de f avec r...

[Bitman]

Oui mais r est lui même fonction de 3 variables... Non ?
Ma définition du gradient est celle-ci :
http://dl.dropbox.com/u/14698843/gradient.jpg

[Nightmare]

Sauf erreur, c'est des notations "à la physicienne" (c'est pour ça que j'ai laissé tomber) : le 'r' (pas en gras) désigne la fonction (x,y,z)->sqrt(x²+y²+z²) et f(r), c'est la composée de f avec r...

euh, ça me parait peu plausible, dans l'énoncé, on introduit "r > 0" et c'est de ce r là dont il s'agit dans f(r) !

[Nightmare]

Oui mais r est lui même fonction de 3 variables... Non ?
Ma définition du gradient est celle-ci :
http://dl.dropbox.com/u/14698843/gradient.jpg

attention à distinguer r et r (en gras dans ton énoncé).

Que signifie pour toi la notation ?

[Bitman]

Oui, je voulais dire r ( pas en gras ) est fonction de x,y et z. ( Enfin tu as l'air de dire le contraire ^^ )

Je vois pas exactement ce que tu me demandes concernant le gradient d'une fonction, c'est pour moi un vecteur dont chaque composante représente la dérivé de cette fonction en une de ses variables. :x

[Ben314]

euh, ça me parait peu plausible, dans l'énoncé, on introduit "r > 0" et c'est de ce r là dont il s'agit dans f(r) !

C'est comme le reste (à la physicienne que je te dit... :hein: ) le "r>0" il signifie que l'on se place sur la partie U de R^3 définie par r(x,y,z)>0 puis le f(r) désigne la composée for définie sur U...

[Nightmare]

Oui, je voulais dire r ( pas en gras ) est fonction de x,y et z.

Je vois pas exactement ce que tu me demandes concernant le gradient d'une fonction, c'est pour moi un vecteur dont chaque composante représente la dérivé de cette fonction en un de ses variables.

r (pas en gras) n'est pas une fonction de trois variables. Dans ton énoncé, on introduit "r > 0" (qui est donc un nombre réel arbitraire), et c'est ce r dont il est question dans .

Concernant la question que je te pose, je t'ai demandé la définition du gradient, tu me donnes un lien où il est écrit . Je te demande alors, que signifie (avec le "r" en plus). En répondant à cette question et en utilisant la définition du gradient, tu auras la réponse à la première question.

[Nightmare]

C'est comme le reste (à la physicienne que je te dit... :hein: ) le "r>0" il signifie que l'on se place sur la partie U de R^3 définie par r(x,y,z)>0 puis le f(r) désigne la composée for définie sur U...

Non je ne suis pas d'accord, r désigne bien un réel, et en fait ce n'est pas f(r) qu'il faut lire dans au sens où on ne "calcule" pas l'image de r, mais au sens où on prend le gradient en le réel "r" (qui alors appliqué à un point h vaut par définition l'image de h par la différentielle de f en r , c'est exactement la formule de l'exo 1)

[Ben314]

Par exemple,

[Ben314]

Et, pour la question 2, on a par exemple

d'où, par symétrie,

[Bitman]

Merci beaucoup Ben314 et Nightmare !
J'ai tout compris :)

Je voulais vous montrer ce que j'avais fais pour la 2, mais en le recopiant, j'ai trouvé mon erreur. Merci beaucoup :)

D'ailleurs j'en profite pour vous demander, que représentent les quantités dr / dx² ou encore d²f/dr

[Arkhnor]

Bonsoir.

Nightmare, si on raisonne avec ton interprétation, la formule n'a aucun sens : le terme de gauche est un scalaire (le gradient d'une fonction réelle d'une variable, c'est la dérivée, donc un scalaire), alors que le terme de droite est un vecteur ...

[Nightmare]

Bonsoir.

Nightmare, si on raisonne avec ton interprétation, la formule n'a aucun sens : le terme de gauche est un scalaire (le gradient d'une fonction réelle d'une variable, c'est la dérivée, donc un scalaire), alors que le terme de droite est un vecteur ...

Pour moi le gradient a toujours été un vecteur cela dit, je ne suis pas un expert en analyse vectorielle.

[Ben314]

Pour moi le gradient a toujours été un vecteur cela dit, je ne suis pas un expert en analyse vectorielle.

Ben comme ça, on est au moins deux !!!! :zen:

Parce que les notations que j'emploie dans le post au dessus, c'est pas la peine d'être bien malin pour voir que c'est pas les mieux adaptées à ce genre de calculs...

P.S. Là où c'est symptomatique que j'en fait pas souvent, c'est qu'il m'a fallut 1/4 d'heure pour trouver comment faire un "gradient" sous MimeTeX...

[Bitman]

Quelles notations aurais-tu utilisées normalement ?

[Ben314]

Quelles notations aurais-tu utilisées normalement ?

Ben justement, il me semble que les notations que j'appelle "à la physiciennes" sont vachement plus courtes pour ce genre de truc, sauf que... j'ai jamais trop bien compris comment on les utilisait...
Donc faudrait demander à quelqu'un qui a l'habitude...

[Bitman]

Ah ok :D
Sinon j'ai une petite question encore;
Pour la question 2 tout a l'heure, ma faute était que lorsque j'avais genre dr/dx², je dérivais 2 fois r en x...
Je me suis rendu compte de l'erreur en voulant le recopier sur le forum...
Mais que représente cette quantité ? Enfin y a-t-il un moyen de faire quelque chose avec ça ?

[Ben314]

ben, dr/dx, c'est la dérivée de la fonction x->r(x,y,z) par rapport à x : c'est donc aussi une fonction de (x,y,z) et normalement, on devrait écrire dr/dx(x,y,z)=... sauf que, comme c'est déjà trés lourd comme écriture, on écrit dr/dx (on "confond" la fonction et sa valeur en un point (x,y,z))

Ensuite, d²r/dx² c'est la dérivée par rapport à x de la fonction (x,y,z)->dr/dx(x,y,z).
Attention à la notation : il y a deux carrés, un sur le 'd' en haut et un sur le 'x' en bas.
Normalement, dr/dx² ou d²r/dx, ça veut rien dire. Par contre dr²/dx ça veut dire la dérivée en x de la fonction (x,y,z)->[r(x,y,z)]²...