Découpage d'un segment, distance pseudo-hyperbolique

[Nightmare]

Hello,

je me posais une question d'apparence simple, mais j'ai l'impression que le problème est loin d'être trivial :

Considérons le plan (identifié à ), plus particulièrement le disque unité, qu'on munit de la distance pseudo-hyperbolique .


Etant donné un segment fixé, comment géométriquement le découper en n parties de même longueur pour cette distance ?

[Finrod]

ça marche pas avec des intégrales curvilignes + en intégrant par rapport à la métrique ?

je connais pas bien le sujet, tout ce que je peux dire est que les géodésiques ne seront probablement pas des segments. Après tu peux normalement calculer la longueur d'un chemin.

[Nightmare]

Finrod > Je comprends pas comment tu veux faire avec les intégrales curvilignes

[Ben314]

Hello,

je me posais une question d'apparence simple, mais j'ai l'impression que le problème est loin d'être trivial :

Considérons le plan (identifié à ), plus particulièrement le disque unité, qu'on munit de la distance pseudo-hyperbolique .


Etant donné un segment fixé, comment géométriquement le découper en n parties de même longueur pour cette distance ?

J'ai pas trop bien compris la question :
- Ce que tu appelle "un segment", c'est un morceau de géodésique pour cette métrique là (la question est dans ce cas trés "standard") ou bien est-ce un segment pour la strucure de R-espace affine de C (donc une question "non standard" mélangeant deux structure peu compatibles)
- Quand tu dit "découper géométriquement", tu veut dire "à la règle et au compas" (i.e. sans calculs) ?

[Finrod]

Si f est la densité déduite de d, la longueur du segment est l'intégrale de f(s)ds le long du segment.

Soit en l'écrivant plus lisiblement

où (x,y) sont les coordonnées du point de départ du segment et est le vecteur tel que la seconde extrémité du segment est (x,y)+u.

Ben maintenant, plutot que d'intégrer de 0 à 1, tu intègres de 0 à z et tu cherches z tel que la valeur de l'intégrale soit M/n où M est l'intégrale de 0 à 1.

Tout dépend de savoir si la densité est facilement intégrable.

ps: je n'ai jamais étudier ce pb avant, donc c'est juste une idée.

[Nightmare]

J'ai pas trop bien compris la question :
- Ce que tu appelle "un segment", c'est un morceau de géodésique pour cette métrique là (la question est dans ce cas trés "standard") ou bien est-ce un segment pour la strucure de R-espace affine de C (donc une question "non standard" mélangeant deux structure peu compatibles)
- Quand tu dit "découper géométriquement", tu veut dire "à la règle et au compas" (i.e. sans calculs) ?

Salut Ben !

1) C'est bien un segment du plan au sens usuel !

2) Pour géométriquement, j'ai pas précisé parce que je sais pas trop ce que j'attends non plus en fait, ça peut être à la règle et au compas ou tout ce dont on a besoin.

[Ben314]

Si ce que tu cherche à couper n'est pas une géodésique de ta métrique, c'est que ton problème et de même nature que, par exemple, de couper un morceau de parabole en n parties de même longueur en géométrie "usuelle" car ton "segment" est, pour ta métrique, un morceau de courbe qui risque d'être à peu prés quelconque.
Je n'ai pas de vision géométrique concernant la métrique dont tu parle (qui n'est pas la métrique usuelle du disque de pointcarré).

Perso, j'essayerais déjà de voir si, pour ta métrique, on arrive ou pas à calculer la longueur d'un segment (qui, vu que ce n'est pas une géodésique, n'est surement pas égale à la distance entre les deux extrémités).

[busard_des_roseaux]

Hello,

je me posais une question d'apparence simple, mais j'ai l'impression que le problème est loin d'être trivial :

Considérons le plan (identifié à ), plus particulièrement le disque unité, qu'on munit de la distance pseudo-hyperbolique .


Etant donné un segment fixé, comment géométriquement le découper en n parties de même longueur pour cette distance ?

Bonjour NightMare!

je me demande si l'on peut pas calculer l'abscisse curviligne
sur le segment, en intégrant la métrique locale

ça devrait donner quelque chose du style (au pif)


où g est la forme quadratique locale définissant la métrique
en chaque point


puis inverser cette fonction de la variable pour en considérer n morceaux

le souçi, je ne vois pas trop comment définir la dérivée
de la courbe ,de support le segment A+tB, dans l'espace tangent.

[busard_des_roseaux]

concernant la métrique dont tu parle (qui n'est pas la métrique usuelle du disque de Poincaré).

ah oui, je n'avais pas fait attention. ce n'est pas la métrique Riemannienne
habituelle dont tu parles mais une distance qui provient plutot
de fonctions holomorphes et d'un groupe de transformations
du disque.


- qu'est-ce qu'elle donne en "local" en différentiant son carré ?
ça doit pas provenir d'une forme quadratique.

- sinon, faire un truc style "concours du capes", ie, la borne supérieure
des longueurs de cordes inscrites dans la courbe , sauf qu'ici , c'est inversé
la courbe est un segment et les cordes sont des géodésiques,
donc des petits morceaux de cercles qui vont venir "buller" sur le segment :zen:

[Ben314]

En réfléchissant un peu plus, il semblerais que ton énoncé est tout de même assez "bancale" :
En général, lorsque l'on parle de "longueur" d'une courbe, c'est qu'on est dans le cadre d'une variété Rimannienne dans laquelle la métrique est donnée par ds(M)=... en tout point M de la variétée.
Dans ce cas, on définit la longueur d'une courbe gamma de classe C1 comme l'intégrale de gamma'(t) ds(gamma(t)).
On définit ensuite une distance (appellée distance géodésique ) sur la variété en décrétant que d(M,M') est la borne inf des longueur des courbes reliant M à M'. Cela muni évidement la variété d'une structure d'espace métrique.
On définit aussi les géodésiques comme étant les courbes qui localement minimisent les distances entre les points (aprés un peu de calcul, on montre que ça correspond à une équation diférentielle ce qui montre que, partant d'un Mo et d'un vecteur U de l'espace tangent en Mo, il existe une unique géodésique passant par Mo avec U comme vecteur tangent).

Bon, dans ton énoncé, tu donne dés le départ la distance entre deux points.
On peut évidement, en regardant la différentielle de ta distance en déduire un ds=... qui permet d'avoir une structure Riemennienne et calculer la longueur d'une courbes (qui va coincider avec la limite quand n->oo de la somme de d(M(i),M(i+1)) où M0,M1,...Mn est une "subdivision" de la courbe)
Le problème, c'est que, une fois le ds=... défini, on peut définir la distance géodésique qui lui est associée et qui est la distance "adaptée" à des problèmes de calculs de longueur de courbes.
Le Hic, c'est que je ne vois aucune raison particulière pour que la distance géodésique que l'on trouve coïncide avec la distance de départ que tu as donné...

EDIT (pour busard_des_roseaux dont je n'avais pas lu le dernier message)
J'ai un peu oublié la théorie, mais ça :

- qu'est-ce qu'elle donne en "local" en différentiant son carré ?
ça doit pas provenir d'une forme quadratique.

c'est plus ou moins une c.n.s pour que la distance provienne d'une structure Rimannienne ou uniquement une condition nécéssaire ?

[busard_des_roseaux]

EDIT (pour busard_des_roseaux dont je n'avais pas lu le dernier message)
J'ai un peu oublié la théorie, mais ça : c'est plus ou moins une c.n.s pour que la distance provienne d'une structure Riemannienne ou uniquement une condition nécéssaire ?

je sais pas.

au pif, je dirai que c'est un peu le même problème
qu'avec les normes de :
la norme euclidienne vient d'un produit scalaire et pas les autres.
donc déja voir si la distance de Night , en infinitésimal,
vient d'une forme quadratique ou non.

si oui, la situation est favorable

il y a le cas limite de la distance triviale d(M,M')=0 ou 1
toute courbe est géodésique

mais la distance proposée vient d'un groupe de transformations ??

[Nightmare]

Salut à vous deux !

B&BdR>

- En fait à priori connaitre la longueur (pseudo-hyperbolique) du segment n'est pas essentiel, tout ce qu'on veut c'est le découper en n partie de même longueur.

- Pour la définition de la longueur, en fait je me préoccupe pas trop de savoir comment la définir sur les courbes quelconques, juste pour un segment, où l'on peut dire par exemple que c'est le max des distances pseudo-hyperboliques. On ne se place pas en géométrie hyperbolique, on est dans le plan usuel, avec un segment usuel, je cherche juste une construction géométrique qui permet de découper le segment en n sous-segments, de sorte que la longueur pseudo-hyperbolique de chacune des parties soient égales.

[Ben314]

O.K., mais le fond du problème, c'est quand même de savoir ce que tu appelle "la longueur d'un segment" [AB].

1) Si tu définit la longueur d'un segment comme le sup des somme des d(Mi,M(i+1)) avec M0=A et Mn=B... etc etc , alors c'est bien égale à l'intégrale de machin-chose ds.
Or, donc et on a qui est, à un facteur multiplicatif prés (4), la forme métrique usuelle du disque de Poincaré et la formule donnant la distance géodésique entre deux points est ArgCosH(1+...) (c.f. lien) qui n'est pas la distance dont on est parti...
Dans ce cas, c'est bien de la "pure" géométrie hyperbolique et, lorsque tu va couper ton segment de longueur L en n morceaux, les morceaux mesureront bien L/n .
Le seul "hic", c'est que ton segment (si ce n'est pas une partie d'un diamètre du cercle) n'est ni un "morceau de droite hyperbolique", ni un "arc de cercle hyperbolique" donc ça risque de pas être façile...

2) Si tu définit la longueur d'un segment comme la distance entre les deux extrémités alors, c'est du "pure hybride" : lorsque tu va couper le segment de longueur L en n morceaux, les morceaux ne mesureront pas L/n (mais pas mal plus) donc ça risque... d'être encore moins façile...

[busard_des_roseaux]

et on a qui est, à un facteur multiplicatif prés (4), la forme métrique usuelle

bravo pour l'élément différentiel !

donc finalement, ce segment est traité comme une courbe

on paramètre



un peu d'abscisse curviligne


ça se primitive bien, sans doute avec un logarithme, dont on on détermine
la bijection réciproque avec une exponentielle
on obtient les valeurs des paramètres
et on place les points de paramètre sur le segment affine [AB]

[busard_des_roseaux]

On ne se place pas en géométrie hyperbolique, on est dans le plan usuel, avec un segment usuel

Dans ce cadre, avec cette distance, le segment n'est pas usuel. C'est une courbe qui doit "ressembler" à une courbe d'exponentielle euclidienne,
puisque la distance s'écrit avec un log :doh: sur un disque d'apparence
d'adhérence compacte, aller en ligne droite vers le bord est un comportement exponentiel.

[Ben314]

Dans ce cadre, avec cette distance, le segment n'est pas usuel. C'est une courbe qui doit "ressembler" à une courbe d'exponentielle euclidienne,
puisque la distance s'écrit avec un log :doh: sur un disque d'apparence
d'adhérence compacte, aller en ligne droite vers le bord est un comportement exponentiel.

A mon avis, si on veut (tenter) de comparer un segment vu dans le disque de Poincaré avec une courbe "usuelle", il faut comparer la longueur du segment (qui s'écrit avec un log comme tu dit) avec la distance entre les deux extrémités (qui s'écrit elle avec un ArgCosH, cf lien).
A la limite, (mais j'ai la flemme de regarder si c'est calculable), il faudrait trouver une paramétrisation par longueur d'arc (au sens hyperbolique) et regarder comment évolue la distance "en ligne droite" (i.e. géodésique) d'une extrémité du segment au point courant M(t).

[busard_des_roseaux]

oui,

avec le pavage
pavage

l'aspect "segment euclidien" ne semble pas être conservé par isométrie.
donc c'est en fait une illusion d'optique qui s'évanouit dès qu'on
le déplace (par déplacement hyperbolique)

[Ben314]

Sauf erreur, les isométrie du disque de Poincaré sont les homographies de la forme où et, comme toute homographie qui se respecte, l'image d'un segment est un segment ou un arc de cercle...

[busard_des_roseaux]

Sauf erreur, les isométrie du disque de Poincaré sont les homographies de la forme où et, comme toute homographie qui se respecte, l'image d'un segment est un segment ou un arc de cercle...

oui, autant pour moi.

Bonjour Ben,

je fais le calcul suivant:

dans le plan , on pose

où argch est l'argument du cosinus hyperbolique

de dérivée


je trouve que ça correspond à une différentielle de


c'est exact ?

qu'est-ce que ça donne comme métrique locale ?

merci d'avance.

[Ben314]

Je comprend pas tout.
Ta distance ne me parrait pas vraiment être une distance : d(M,M)=argch(yM²-xM²) n'est pas nul (ou alors il y a une faute de frappe...)