Équation avec fonction logistique

[joss12000]

Bonjour,

Je cale sur l'équation suivante:

f(x) = g(x) (1 - g(x-T))

Je connais f(x), je cherche g(x).

J'ai obtenu f(x) par régression logistique et elle est définie comme suit:

f(x) = 1/ (1 + exp(ax² + bx + c))

Est-ce que quelqu'un sait comment trouver g(x) (si c'est possible)?

Merci pour votre aide!

[Finrod]

Il faut des conditions sur g, sinon, par ex, tu prend n'importe quelle fonction (non nulle) sur [0,T] et tu peux la prolonger sur [-T,0] en faisant

g(x-T) = 1- f(x)/g(x) avec x das [0,T]

Et tu peux prolonger sur tous les intervalles de longueur T, tant que ça ne s'annule pas.
Si ça s'annule, il 'y a pas de prolongement.

[joss12000]

Merci Finrod,

Mais dans ce cas, si j'ai bien compris, la fonction g(x) est définie par partie? Par exemple si je choisis g(x)=x²+1 sur [0,T], sur [-T,0], on a:

g(x-T)= 1-f(x)/g(x)

et g(x) est définie différemment sur [-T,0], par:

g(x)=1-f(x+T)/g(x+T)= 1- f(x+T)/((x+T)²+1)

Or, je recherche une fonction g(x) dont l'équation ne varie pas sur tout l'intervalle de définition. Après il y a peut-être une multitude de solutions à ce problème, je ne sais pas.

Sinon, en condition sur g(x), on a ceci:

soit µ l'abscisse du maximum de f(x) (f est une courbe en cloche symétrique selon l'axe x=µ), on a:

g(µ)=1-g(µ-T)=racine(f(µ))

et aussi:

g(µ-T/2) = 1-g(µ+T/2) = 0.5

Un beau dessin serait idéal pour visualiser le système, je vais voir si je peux faire ça.

[Finrod]

Tu as aussi pour tout n



sous réserve de non annulation.


Après,

L'équation générale peut aussi s'écrire

Le seul truc accessible que je vois est de chercher g sous une forme particulière et d'essayer d'identifier. Une exponentielle par ex, comme f.

Le travail dont tu as tiré l'équation donne peut être des indices sur les choix probables pour g.

[joss12000]

Ok, je vais exposer le problème dans son entier, en essayant d'être le plus clair possible, mais ça va faire un peu long:

Je possède des données de mue pour une espèce d’oiseau. Je sais, pour chaque oiseau s’il était en mue ou pas à la date où il a été capturé. Une régression logistique de la mue (1 ou 0) en fonction de la date me permet de fitter une courbe estimant la probabilité d’être en mue à la date D. Cette courbe est f(x), dont l’équation est donnée dans le premier message. Ce que je recherche maintenant ce sont ces probabilités :
1) probabilité d’avoir commencé sa mue en fonction de la date
2) probabilité d’avoir terminé sa mue en fonction de la date.

Lorsqu’on est en mue, on a commencé sa mue, mais on ne l’a pas finie, donc :

P(être en mue) = P(de ne pas avoir terminé sa mue sachant qu’on l’a commencée)

d'où:
P(être en mue) = P(d’avoir commencé sa mue) x P(de ne pas avoir terminé sa mue)

d'où:
P(être en mue) = P (d’avoir commencé sa mue) x (1- P(d’avoir terminé sa mue))

Maintenant, appelons P (d’avoir commencé sa mue) g(x), x étant la date, et T le temps de mue moyen pour l’espèce d’oiseau considérée (cad, si un oiseau commence sa mue à la date D, il la finira en moyenne à la date D+T). Si on fait l’approximation que la mue de chaque oiseau dure invariablement T jours, alors P(d’avoir terminé sa mue) = g(x-T), cad que les courbes P(d’avoir terminé sa mue)(x) et P(d’avoir commencé sa mue)(x) sont strictement identiques, sauf que la première est décalée de T jours vers la droite.

On a alors :

f(x) = g(x) (1-g(x-T))

Ce qui est embêtant bien sûr c’est qu’on ne connaît pas la forme de l’équation de g(x). Cependant, on peut avoir une idée de sa forme. Il est évident que g(x) va être proche de zéro au début de l’année, puis va augmenter à mesure qu’on s’approche de la période de mue, pour finalement tendre vers 1 après la période de mue. Cela devrait donner une courbe avec une allure de sigmoïde, dont le point d’inflexion est en µ-T/2. Avec µ l’abscisse du maximum de f(x). J’ai fait un graphique pour illustrer tout ça, que j'ai mis ici.

Sinon je vais continuer à chercher un type d’équation pour g(x) qui pourrait correspondre.

[Finrod]

Lorsqu;)on est en mue, on a commencé sa mue, mais on ne l;)a pas finie, donc :

P(être en mue) = P(de ne pas avoir terminé sa mue sachant qu;)on l;)a commencée)

Je dirais que c'est plus une intersection qu'un "sachant que" i.e.

P(être en mue) = P(de ne pas avoir terminé sa mue on l;)a commencée)

d'où:
P(être en mue) = P(d;)avoir commencé sa mue) x P(de ne pas avoir terminé sa mue)

Voilà cette formule n'est pas vrai pour le "sachant que" mais par contre on a à peu près ça pour l'intersection :

P(être en mue) = P(d;)avoir commencé sa mue) x P(de ne pas avoir terminé sa mue sachant qu'on l'à commencé)

Tout ce que tu as fait est juste dans l'idée, pour un non mathématicien, en fait ces "corrections" sont purement formelles.

Ce qui est embêtant bien sûr c;)est qu;)on ne connaît pas la forme de l;)équation de g(x). Cependant, on peut avoir une idée de sa forme. Il est évident que g(x) va être proche de zéro au début de l;)année, puis va augmenter à mesure qu;)on s;)approche de la période de mue, pour finalement tendre vers 1 après la période de mue. Cela devrait donner une courbe avec une allure de sigmoïde, dont le point d;)inflexion est en µ-T/2. Avec µ l;)abscisse du maximum de f(x). J;)ai fait un graphique pour illustrer tout ça, que j'ai mis ici.

Sinon je vais continuer à chercher un type d;)équation pour g(x) qui pourrait correspondre.

Ok

Si tu t'attends à une courbe relativement lisse, interpoler peut être pas mal. Tu as déjà une grosse approximation en prenant le g(x-T) (pour un matheux, c'est un grosse, après , je ne juge pas de son adaptation au problème qui doit être bonne)

Sinon on peut modéliser la lois du temps de mue par des lois connues. On peut choisir une loi exponentielle si c'est un phénomène qui se produit à n'importe quelle période de l'année spontanément (temps d'attente) ou peut être une gaussienne si c'est un phénomène concentré autour d'un pic.

(On estime le para puis on fait un test statistique)

Mais tu y a sans doute déjà pensé, puisque tu as l'air de connaitre le sujet.

Il y a peut être encore un moyen de simplifier qqchse qui m'échappe et qui donnerai ue bonne solution approchée du problème. J'y réfléchi.

[Finrod]

g(x) ressemble pas mal à la fonction de répartition d'une exponentielle, ça pourrait donner une bonne approximation.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_exponentielle

La formule devrait permettre d'estimer précisément de paramètre.