Fonction logistique et chaos pour r=4

[jondot]

bonjour je voudrais montrer que la fonction logistique définie par
f:x->rx(1-x) ac r=4 ici, est chaotique.

la demonstration qui m'interesserait porte sur l'étude de la partie fractionnaire de a lorsqu'on fait le cahngement de variable suivant:
x=sin²(a*pi) avec a reel qui fixe la condition initiale.
je ne comprends pas pourquoi étudier la artie fractionnaire et encore moins pourquoi le faire en base 2.

si quelqu'un a une reponse ou au moins une piste je suis tout ouïe.

[mathelot]

bonjour,
l'étude de cette suite se ramène au doublement de l'angle modulo 1.
En considérant le développement dyadique de "a" , on obtient un shift gauche à chaque itération. D'où le chaos. Le comportement de la suite dépend du
du développement dyadique de a, les décimales de a remontant du tréfonds vers la virgule d'un décalage gauche à chaque itération.

[cesar]

il existe un autre changement de variable, qui transforme la fonction en une forme beaucoup plus sympathique. Je vais essayer de le retrouver dans mes archives...