Puissance i

[maxence6]

Bonjour,

Je demande juste votre avis et comme j'ai peu de notion sur les nombres complexes peut être ce qui suit sera complètement faux !




donc maintenant avec des chiffres et un exposant réel:


donc



autre exemple:

donc
et non !

La question est peut-on dire que cela est vrai:



Merci d'avance !

[Ben314]

Tout est O.K. modulo le fait que je n'ai jamais vu écrit de "racine i-ème" : si tu lit des bouquins de "calculs", tu trouve beaucoup de racines carrées, quelques racines cubiques, rarement des racines quatrièmes et quasiment pas d'autres racines : lorsque cela devient un peu compliqué, à peu prés tout le monde préfère ecrire x^{1/a} à la place de "racine a-ième de x", donc à peu prés tout le monde écrit 5^{1/i} là ou tu écrit "racine i-ème de 5"

[maxence6]

Oui c'est sur et merci !

[Skullkid]

Attention quand même, c'est pas évident de définir quelque chose comme (si a est réel).

[Ben314]

Attention quand même, c'est pas évident de définir quelque chose comme (si a est réel).

ça c'est sur que l'idée de construire a^x en approchant x par des quotients, lorsque x=i, ça marche pas terrible terrible...
Donc dans le cas présent, il est un peu compliqué de définir a^x autrement que par
a^x=exp(x ln(a))...

[Skullkid]

Oui, et si on doit élever à nouveau à la puissance i, faut déterminer le logarithme...

Si je prends le log principal, sauf erreur de ma part, on a quelque chose comme

[Nightmare]

Effectivement, ce n'est pas très utile étant donné qu'on ne sait pas plus ce que vaut que .

Qui plus, le symbole "racine k-éme" est uniquement utilisé pour k entier.

[Nightmare]

Aussi, les règles sur les puissances que tu emploies Maxence n'ont été prouvées, du moins à ton niveau, que pour des réels, et encore ça ne fonctionne pas pour tous, alors imagine pour des complexes...

[Ryuu]

Je ne comprends pas le passage entre la troisième et la quatrième étape de Oktave, quelqu'un peut m'expliquer ?

[Skullkid]

La notation n'est utilisée que pour p entier, donc ça n'a pas vraiment de sens de parler de (même si on pourrait dire que c'est juste une notation...). Dans tous les cas, la propriété n'est ici démontrée que pour p et q entiers, et x réel positif. Avant de l'étendre aux complexes, il s'agirait de voir si elle est encore valable pour x négatif. Et c'est là qu'on tombe sur des contradictions comme le fameux ...

Dans le même ordre d'idées, on n'a pas pour tout réel x. Quand on veut définir l'élévation d'un complexe à une puissance complexe, on est obligé de violer des règles telles que .

Les calculs d'Øktave et maxence6 reposent sur l'hypothèse qu'il existe une fonction puissance définie sur les complexes suffisamment sympathique pour vérifier les mêmes propriétés que la puissance réelle.

[Ryuu]

Oktave la formule est-elle démontrée ? Ou est-ce que la démonstration de Ben314 dans le topic que tu m'as link suffit à démontrer celà ?

Pour le reste c'est plutot amusant en effet

C'est vrai que la formule d'Euler est compliqué au début je croyais comprendre mais plus j'y réfléchie moins je comprends

[Nightmare]

EDIT : D'aprés se que j'ai trouver sur internette
avec x réel et un exposant complexe on aurrait :

Comme tu l'écris en dessous, ceci n'est valable que pour x=e !

[Ryuu]

Comme tu l'écris en dessous, ceci n'est valable que pour x=e !

Dans ce cas c'est logique en effet, mais bon ça restreint énormément l'utilité de la formule :') .

[Nightmare]

Je ne comprends pas comment on peut "démontrer" que ...

[alavacommejetepousse]

ben si il faut une preuve

les fonctions puissances non entières sont définies via le log

les racines n iemes comme application réciproque des fonctions puissances entières donc a priori pas les mêmes ( d 'ailleurs elles n' ont pas même ensemble de définition )

[Nightmare]

ben si il faut une preuve

les fonctions puissances non entières sont définies via le log)

Les irrationnels peut être, mais pour les rationnels, ce que tu veux démontrer peut aussi être une définition.