Application surjective dans Rn[X]

[absolut-diabolik]

Bonjour,
J'ai un problème pour un exo d'algèbre ...

Soit P € Rn[X] et f une application, f : P -> P + P' (le polynome dérivé)

Démontrer que f est surjective.

Je pense qu'il faudrait déjà démontrer que f est surjective en dimension finie genre R[X], pour un n fixé

Et comme toute dimension finie et inclut dans le dimension infinie, c'est terminé.

Mais je suis pas sure, vraiment!

Merci d'avance.

[Nightmare]

Salut !

P est bien supposé dans Rn[X]? Dans ce cas on est déjà en dimension finie, et d'après le théorème du rang il suffit donc de montrer que f est injective !

[absolut-diabolik]

Salut !

P est bien supposé dans Rn[X]? Dans ce cas on est déjà en dimension finie, et d'après le théorème du rang il suffit donc de montrer que f est injective !

Je suis perdue, le théorème du rang, comment ça?

[Nightmare]

Oublions.

Posons . Que vaut ? Etant donné un polynôme Q fixé dans Rn[X], quelle "condition" doit-on alors avoir sur les coefficients pour que ?

[absolut-diabolik]

en fait je ne vois pas comment on applique le théorème du rang...

[Nightmare]

Que dire de l'image d'une application surjective? Donc de sa dimension?

Que dire du noyau d'une application injective ? Donc de sa dimension ?

Que dit le théorème du rang? conclus :lol3:

[absolut-diabolik]

Que dire de l'image d'une application surjective? Donc de sa dimension?

Que dire du noyau d'une application injective ? Donc de sa dimension ?

Que dit le théorème du rang? conclus :lol3:

hum j'avance, je dois rentrer, je vais méditer ça dans les transports.
Merci :id:

[absolut-diabolik]

Encore un petit souci pour ceux qui peuvent m'aider.

f est surjective ssi son ensemble image est tout l'ensemble d'arrivée, donc sa dimension est la dimension de l'ensemble d'arrivée.

f est injective ssi ker(f)=0 donc, la dimension du noyau d'une application injective = 1

D'après le théorème du rang : avec f: E->F
dim E = dim ker (f) + dim F

Mon problème c'est la dimension de Rn[x] c'est bien n+1, on compte de 0 à n , nan ?

Il suffit de démontrer que f est injective donc que dim ker(f)= 1.

Mais à ce que je vois dim E = dim F, ce qui est assez curieux.

Help!

[Le_chat]

Le truc c'est que tu veux montrer Imf=Rn[X] donc que dim Imf=n+1

or comme tu l'as si bien dit: dim Rn[X]=n+1=dim Imf+dim Kerf (théorème du rang)

Donc dim Imf=n+1 est équivalent à dim Kerf=0 i.e. Kerf ={0} (i.e f est injective)

[absolut-diabolik]

Ah d'accord mais j'avais compris que kerf={0} ça voulait dire que dim kerf= 1. C'est moi!
En tout cas merci à vous deux!

[Le_chat]

Heu non pas du tout :hum:
Kerf={0} signifie dim Kerf= 0