Racines unités

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 11:32

Bonjour à tous : :happy3:
J'étudie en ce moment les extensions abeliennes dont le groupe de Galois est abelien, et plus precisemment, les extensions cyclotomiques :

avec :

, c'est à dire,

appartient à l'ensemble des racines

- ième de l'unité ! :happy3:
Alors :

:

Donc :

Est ce que vous pouvez me donner un exemple de corps intermediare entre

et

Est ce que :

( comment le pouver ?) :happy3:
Pourquoi :

est une extension maximale de

? :happy3:
Merci d'avance !

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 11:45

svp, je viens de voir dans un article mathematique que

Pouvez vous m'expliquez pourquoi ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **Doraki** » 27 Jan 2010, 12:02

Parceque la famille (1, eta, eta^2 ... eta^(n-1)) n'est pas libre.
Pour n=2, c'est quoi cette famille ?

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 12:18

Doraki a écrit:Parceque la famille (1, eta, eta^2 ... eta^(n-1)) n'est pas libre.
Pour n=2, c'est quoi cette famille ?

donc pas libre ! :happy3:
Est ce que tu peux me corriger ce que je vais dire dans la suite : :happy3:
Est ce que donc :

a une structure de corps ( donc de

- d'espace vectoriel ) ? :happy3:

, car :

est une extension normale et séparable de

, et donc :

avec,

est le degré galoisien, qui est egale au nombre de racines distinctes de l'unité ! :happy3:

par **Doraki** » 27 Jan 2010, 12:37

T'es toujours en train de dire que [Q(-1) : Q] = 2 ?

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 12:40

Si

est une racine primitive (à ne pas oublier...) n-ième de l'unité, le polynôme minimal de

sur

est le n-ième polynôme cyclotomique (c'est quasi. la déf. des polynômes cyclotomiques) comme le degrés de ce polynôme est

...

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 12:47

Doraki a écrit:T'es toujours en train de dire que [Q(-1) : Q] = 2 ?

Non,je voulais que tu me corrigse ce que j'ai écrit dans la suite, à part le fait que

( je sais que c'est faux ) pour voir où je me suis trompé exactement ! :happy3:

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 12:48

Ben314 a écrit:Si est une racine primitive (à ne pas oublier...) n-ième de l'unité, le polynôme minimal de sur est le n-ième polynôme cyclotomique (c'est quasi. la déf. des polynômes cyclotomiques) comme le degrés de ce polynôme est ...

D'accord Ben314 ! Merci ! :happy3:
Et si

n'est pas une racine primitive

- ième de u'nité, à quoi est égale :

? :happy3:

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 12:54

Est ce que :

a une structure de corps ( et donc, une structure de

- d'espace vectoriel ) ?
La famille

n'est pas libre !
Donc, quelle est exactement la structure de :

?
MErci d'avance ! :happy3:

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 13:00

barbu23 a écrit:Si n'est pas une racine primitive - ième de u'nité

alors, c'est que c'est une racine primitive p-ième pour un certain p qui divise n....

par **yos** » 27 Jan 2010, 13:03

barbu23 a écrit:Est ce que : a une structure de corps

C'est la définition de Q(truc) : plus petit sous-corps de C contenant Q et truc.
(On peut faire ça sans faire appel à un surcorps comme C mais ça revient au même.)

barbu23 a écrit:La famille n'est pas libre !
Donc, quelle est exactement la structure de : ?

Si on dit "corps" c'est déjà pas mal comme structure non?

Pour la question initiale, îl faut en effet réviser les polynômes cyclotomiques. L'irréductibilité de ces polynômes sur Q (difficile à démontrer) entraîne

.

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 13:12

yos a écrit:C'est la définition de Q(truc) : plus petit sous-corps de C contenant Q et truc.
.

Oui, mais : dans ce cas :

, aura une structure de

- espace vectoriel, et quelle est donc,

, avec

et

est le polynome minimla de

qui est un polynome cyclotomique de degré

! c'est ça ? :happy3:

Si on dit "corps" c'est déjà pas mal comme structure non?

Pour la question initiale, îl faut en effet réviser les polynômes cyclotomiques. L'irréductibilité de ces polynômes sur Q (difficile à démontrer) entraîne .

avec

:happy3:
Merci Yos ! :happy3:

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 13:14

Ben314 a écrit:alors, c'est que c'est une racine primitive d-ième avec ....

Oui, c'est vrai ! tu as raison ! :happy3:
Merci beaucoup à vous tous ! :happy3:

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 13:20

Pour

( premier ) avec :

On a donc :

et

Je voudrais que vous me citer tous les sous corps intermediaires entre

et

Merci d'avance ! :happy3:

par **yos** » 27 Jan 2010, 13:32

barbu23 a écrit:Je voudrais que vous me citer tous les sous corps intermediaires entre et

Et ceci quel que soit

??

Le groupe de Galois de

est isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ)*. A chaque sous groupe de (Z/nZ)* correspond un corps intermédiaire. Ca peut faire du monde.

Un célèbre théorème (Kronecker-Weber) dit que toute extension abélienne de Q est dans un certain

.

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 13:53

yos a écrit:Et ceci quel que soit ??

Le groupe de Galois de est isomorphe au groupe multiplicatif (Z/nZ)*. A chaque sous groupe de (Z/nZ)* correspond un corps intermédiaire. Ca peut faire du monde.

Un célèbre théorème (Kronecker-Weber) dit que toute extension abélienne de Q est dans un certain .

Les sous groupes de

ne sont -ils pas de cette forme :

avec

? :happy3:

Ces corps intermediares entre

et

sont - ils donc de la forme

avec :

et

? c'est ça,non ? :happy3:
avec :

et

sont deux conjugués par rapport à leur polynome minimal ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **yos** » 27 Jan 2010, 13:59

Non : Z/nZ* est pas cyclique en général.
Quant aux sous-corps de

, il en existe beaucoup d'autres (toujours en général). Par exemple

contient comme sous corps

.

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 14:13

Yos : :happy3:
Ah, oui, c'est vrai

est cyclique comme étant un groupe additif, par contre,

est un groupe multiplicatif qui n'est pas toujours cyclique ! :happy3:
Donc, pour que

soit cyclique, il faut mettre

( premier )
Si on est dans cette situation, est ce qu'on peut dire dans ce cas que ce que j'ai dit dans le poste avant celui là :

Les corps intermediares entre et sont - ils donc de la forme avec : et ? c'est ça,non ? :happy3:

Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 14:41

svp, un petit coup de main ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 27 Jan 2010, 16:41

svp, un petit coup de main ! :happy3:

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