mathelot a écrit:i) la formule avec le demi-déterminant (celle de Yos) est "affine" alors que celle de Brahmagupta est "euclidienne" , elle semble dériver d'un produit scalaire dont moins générale.? j
Je voudrai bien quelques explications sur le caractère affine des aires, si les mots ont un sens, il y a des applications affines qui ne sont pas des isométries et qui conservent néammoins les aires ?
Les deux formule n'ont de sens que dans un espace euclidien pour de multiples raisons :
1) Le calcul de distances (AB, AC,...) n'a de sens que dans un espace euclidien car elles sont définies à l'aide du produit scalaire.
2) Toute la trigo. (donc la notion d'angle ed de sinus) aussi
3) On peut effectivement parler de déterminant dans un espace non euclidien, MAIS il faut faire attention : la valeur du déterminant de deux vecteurs dépend de la base dans laquelle on exprime les coordonnées des deux vecteurs (par contre le fait que le déterminant soit nul ne dépend pas de la base).
Pour rendre le déterminant de deux vecteurs invariant à changement de base prés, on doit préciser que l'on calcule celui çi dans une base orthonormée directe (car les matrices de changement de base ont dans ce cas un déterminant égal à 1). Sauf que qui dit "orthonormé" dit espace euclidien.
Attention à ne pas confondre la notion de déterminant de deux vecteurs avec la notion de déterminant d'un endomorphisme qui, lui est indépendant du choix de la base et donc a un sens dans un espace seulement affine.
Le "calcul d'aires" ne peut se faire que dans un espace euclidien : toutes les modélisation de ce calcul (riemann, lebesgue,...) prennent plus ou moins comme "axiome" que la surface d'un rectangle de cotés a et b a pour surface ab. Or, pour définir ce qu'est un rectangle (et ce qu'est la longueur de ces cotés) , il faut un produit scalaire.
PAR CONTRE, la notion de
rapport de surfaces a un sens dans le cadre non euclidien car si on considère deux structures euclidiennes différentes, les aires calculées avec chacune des deux structures seront égales à une constante multiplicative prés.
Cela vient du fait qu'un endomorphisme quelconque multiplie les aires par la valeur absolue de son déterminant (c'est une des facon de voir la formule det(AB)=det(A)det(B)).
Ce dernier résultat montre en particulier qu'il existe des endomorphismes qui préservent les aires sans être des isométries. l'exemple le plus simple est (x,y)->(2x,y/2).
mathelot a écrit:ii) combien un polygone convexe a-t-il naturellement de "centres" ? il y a l'isobarycentre des sommets certes mais peut-être d'autres points remarquables
Personellement, dans un cas vraiment quelconque, je ne connais que le centre de gravité.
mathelot a écrit:iii) il y a une condition , portant sur un polygone , pour qu'il soit le projeté
plan d'un polyèdre régulier ?
Oui, il y a forcément des conditions, si tu veut voir un exemple de conditions pour que des points du plan soient les projetés d'un cube de R^3, tu peut regarder le sujet de CAPES de 1981 2em épreuve :
http://les.mathematiques.free.fr/pdf/G%e9om%e9trie_81.pdf
