Verhulst et sa population

[bully5]

Bonjour, est ce que quelqu'un peut m'aider pour cet exercice, où je suis complètement dans les chouxxx


En 1838, F. Verhulst traduit mathématiquement le développement d’une population animale dans un milieu où des obstacles freinent uniformément cette évolution par une équation du type x(t)= K/(1+e^(-r(t-to))) où K, r sont 2 réels positifs qui dépendent de la population du milieu et des unités choisies, t est le temps et x(t) le nombre d’individus; to est défini par la relation x(0)=K/(1+e^(rto))

1. Calculer x(to) et lim x(t). interpréter to et K
t|-->+00
Tracer sa courbe représentative de x: R+ à R
T|-->x(t)
2. Ce modèle est bien adapté à l’évolution de la population des USA entre 1790 et 1930 avec K= 197.273.000, to=1913,25 et r=0,031.34, t étant exprimé en années.
Quelle était la population en 1790? En quelle année a-t-elle dépassé le cap des 50 millions? Des 100 millions?
je veux bien calculer x(o) mais je ne connnais ni K ni r

merci d'avance

[sky-mars]

Salut
pour la 1) tu as quoi pour x(t=t0) ? et la limite ?


PS : on s'en fou si tu connais pas pour l'instant K & r , on veut une expression littérale la

[bully5]

x(to)=K/2
lim x(t) lim K/+00 =0
x-->+00 x-->+00
comme ça?

[sky-mars]

x(t0) c'est OK
ta limite est fausse... en plus tu m'écris que x tend vers l'infinie alors que c'est archi faux ! c'est t qui varie vers l'infinie

refait ta limite

[bully5]

oups
lim e^-r(t-t0) =0
t-->+oo
lim K/(1+e^-r(t-to)=K
t-->+oo
c'est mieux, non?

[bully5]

pour la suite je suis un peu embêtée pour tracer la fonction car je ne peux pas ma calculatrice ne l'accepte pas elle ne prend ni K , ni r ni t..) et je n'ai aucun logiciel pour la tracer

[sky-mars]

Salut ^^

Bon pour la 1ere question, en effet, c'est beaucoup mieux :++:

Pour la courbe, tu sais que (r,K) sont positifs, tu connais la limite de la fonction et tu connais sa valeur en
Essaie d'étudier la fonction (avec la dérivée) et avec les informations qui ont été donnée, tu pourra tracer l'allure de la fonction. Ce qu'on te demande c'est une allure (la plus fidèle possible) après tu pourra la tracer correctement avec des valeurs fixées

[bully5]

bonjour,
merci bien^^
la dérivée de x(t)est:
x'(t)=k(-re^-r(t-to))-(1+e^-r(t-to)/[1+e^-r(t-to)]²
= -[(e^-r(t-to))(1+kr)+1]/[1+e^-r(t-to)]²
est ce que la dérivée vous semble bonne?

[sky-mars]

je ne suis pas OK avec ta dérivée

applique bien
avec

[bully5]

d'accord:
u'(x)= -re^-r(t-to)
-u'/u²= re^-r(t-to)/[1+e^-r(t-to)]²
x'(t)=K*re^-r(t-to)/[1+e^-r(t-to)]²
comme ça?

[sky-mars]

yes c'est juste

donc x'(t)=

donc quel est le signe de la dérivée ? ??

[maturin]

oui c'est bon.
Calcule la dérivée en 0 et sa limite en +inf

[sky-mars]

nan mais ta pas besoin de tout ca
tu vois bien que k et r sont de meme signes donc positifs, que exp(x) est une fonction positive et que le dénominateur est positif donc ta dérivée est positive maintenant tu peux tracer l'allure et tu peux t'aider de la 1ere question

[bully5]

la dérivée est positive donc, la fonction est strictement croissante elle part de x(to)=k/2 et elle va vers K quand la fonction tend vers +00?

[bully5]

pour la suite
2.
x(to)=197.273.000/2
= 9.863.650
en 1790 sa population est de 9.863.650
en quelle année a-t-elle dépassé le cap des 50 millions
x(t)=197.273.000/(1+e^-0,031.34(t-1913,25)=50.000.000
des 100 millions?
x(t)=197.273.000/(1+e^-0,031.34(t-1913,25)=50.000.000
je ne sais pas comment résoudre de telles équations? pouvez vous me donner une piste? passer par la fonction ln?

[sky-mars]

non mais tu dois la tracer sur ! et tu sais qu'elle passera sur K/2 en to et qu'il y a une asymptote horizontale y= K au voisinage de

[sky-mars]

Ouais quand tu vois des équation en exponentielle y'a le Ln qui va avec ;)

[bully5]

oui ,mais to n'est pas l'origine des ordonnées?

[bully5]

je vais essayer de résoudre l'équation:
197273000/ln(1+e^-0.03134(t-1913.25))=1/ln50000000
est ce que j'ai le droit d'écrire ça?, est ce correct?

[sky-mars]

nan nan t'as pas du tout le droit !!!

déja exprime e^-0.03134(t-1913.25) en fonction du reste