Resultat sur les suites recurrentes

[slider_51]

Bonjour,
je suis en train de revoir une lecon sur les suites recurrentes et il y a un resultat que je n'arrive pas a demontrer.
si u_n=f(u_n), si f est croissante et si f(u_0)>u_0 alors (u_n) est croissante et converge vers le plus petit point fixe l>u_0 ou tend vers l'infini.

Je comprends qu'elle soit croissante ensuite la suite est soit bornée ou non. Si elle ne l'est pas elle tend vers l'infini sinon elle converge.

Le probleme est que je n'arrive pas a montrer que la limite en question est un point fixe. J'ai un resultat qui me dit que si u_n tend vers l et si f est continue en l alors l est un point fixe de f. Mais dans ce cas précis il y a aucune raison que f soit continue.

Est ce que quelqu'un aurait une solution?

Merci

[Zavonen]

si u_n=f(u_n)

Je suppose qu'il faut lire u_n+1=f(u_n)

Mais dans ce cas précis il y a aucune raison que f soit continue.

Je pense que tu as parfaitement raison.
Voici un contre-exemple:
f(x)=racine(x)pour x dans [0,1[ et f(1)=2 (discontinuité en 1 donc).
si u_0=1/2 on est dans les conditions de l'énoncé, la suite u_n converge vers 1 qui n'est pas un point fixe de f

[slider_51]

Merci bien pour tes lumieres.