Olympiades pas très dures pour les lycéens

[Olympus]

Bonjour !

Eh oui j'ai passé les olympiades du Maroc hier et j'ai pu répondre facilement à 5 exercices sur 6

Même si j'ai déjà répondu à la plupart des exercices, je vais quand même partager avec vous ces exercices, bonne chance !

( ps : les olympiades sont pour la classe seconde, et veuillez mettre les réponses en blanc s'il vous plait, merci . )

Ex 1 :

Montrer que, pour tout , ceci est un carré parfait :


Ex 2 :

Soit , résoudre les équations suivantes :

1)
2)
3)

Ex 3:

Écrivez P sous la forme de produit de deux polynômes :


Ex 4:
Soit un triangle rectangle sur , et le millieu du segment .

On pose , et .
Trouvez le couple sachant que : .

Ex 5:
( très très facile )

1) Montrez, pour tout , qu'on a : .

2) Soit et , montrez que : .

Ex 6

Soit ABCD un quadrilatère .
ABD et BCD ont la même surface .
Montrez que (BD) traverse [AC] en son millieu .

( très banal aussi ) .

Je me demande même si ce sont vraiment des olympiades lool :ptdr:

[Zweig]

En effet, c'pas bien méchant :we:.

[Zweig]

L'exercice 2. est intéressant.

On remplace les valeurs par , on va travailler dans le cas général.

On doit avoir nécessairement pour que cela ait un sens

[Olympus]

Suffit de foutre tout au carré, mais c'est pas si facile ( et y a eu beaucoup d'élèves qui l'ont oublié ), faut faire un peu attention aux "solutions" par exemple la première n'a pas de solution sur R .

Sinon intéressant le cas général .

[Skrilax]

Salut,

Les candidats disposent de combien de temps pour ces 6 exercices ?

[Zweig]

Ex 1 : Simple identification de polynômes

Ex 3 :

Ex 4 :

1)

2) Plus généralement : . En prenant et y, on montre l'inégalité désirée.

[Zweig]

Je me demande même si ce sont vraiment des olympiades lool :ptdr:

Oui, l'exercice 2 est tiré des Olympiades Internationales de Mathématiques de 1959 ... Mais bon, à cette époque c'était beaucoup plus facile qu'aujourd'hui ...

[Olympus]

2) Plus généralement : . En prenant et y, on montre l'inégalité désirée.

Ou bien on peut aussi remarquer que et on applique la propriété , c'est plus élégant selon moi ^^

Salut,

Les candidats disposent de combien de temps pour ces 6 exercices ?

3 heures ( pour des olympiades faciles ... )

[Zweig]

Ex 4 :





Y'a plus qu'à résoudre ce bête système :

[Zweig]

Tiens, un autre exercice sympa ...

Soit une suite définie comme suit par récurrence :





Déterminer une formule close pour (c'est-à-dire exprimée seulement en fonction de , et )

[Ericovitchi]

avec quelque chose comme ça ?

[Zweig]

Presque ...

[Ericovitchi]

Heu oui je suis allé trop vite :
Disons avec

[Zweig]

Non non, le soucis se situe plutôt au niveau de l'expression de .

[Ericovitchi]

Oui j'avais oublié qu'il fallait aussi faire A+B=1 Aq+bq'=1 etc...
Disons donc
Avec et

[Zweig]

Ta première relation de récurrence était la bonne. En fait, il fallait remarquer que pour , la somme des exposants de et vaut exactement , étant la suite de Fibonacci. Donc l'exposant de (qui est plus petit que celui de ) vaut et celui de vaut . La formule de Binet nous donne :

[lapras]

Bonjour,
juste comme ca, si U_{n+2}=U_{n+1}*U_n et U_0,U_1>0 ,poser V_n=ln(U_n)
on a alors V_n suite de fibonacci donc c'est immédiat d'obtenir U_n.

[Zweig]

Un autre :

Le rayon du cercle circonscrit à un triangle de côtés , et vérifie :



Déterminer les valeurs exactes des angles du triangle.

[Thalès]

Lol, pour l'Ex 2 suffit de faire le conjugué =), pas la peine d'élever au carré.
On aura un système sous la forme x-y=a et x+y=b , facile à résoudre après.

[Zweig]

Ca revient au même au niveau de la longueur de la solution.