Suite et limite de suite

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 20:16

Bonsoir ! ^^

Alors voila j'ai un gros souci avec un exercice, que voici :

On considère la suite Un définie par U0=1 et Un+1=Un*exp(-Un).

1) Montrer par récurrence que Un>= 0 .
2)Montrer que la suite est décroissante.
3)En déduireque la suite est convergente et déterminer sa limite l.
4)a/ Pour tout n on pose Sn = \bigsum_{k=0}^{n}Uk . Montrer que Un+1=exp(-Sn).
b/ En déduire lim Sn lorsque n tend vers + infinie.

J'arrive à ne faire que l deuxième !!!
Merci

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 20:18

Pour la question 1, tu fais comment par récurrence ?

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 20:38

Bah en faite j'ai déjà fait sa mais après je bloque :

Initialisation: U0=1 >=0 L'inégalité est donc vraie au rang n=0.
Hérédité: Supposons qu'il existe un rang n tel que Un>=0, alors : Un+1=Un*exp(-Un) après je sais pas quoi faire !!!
:S

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 20:45

kikou25 a écrit:Un+1=Un*exp(-Un)

après je sais pas quoi faire !!!
:S

:doh:
quelle est la conclusion que tu veux démontrer ?

quelle est ton hypothèse ?

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 20:48

Bah je veut montrer que Un>= 0 !!
Ah non en faite ça c'est mon hypothèse et ce que je veut montrer c'est que Un+1>=0 !!! :S

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 20:51

kikou25 a écrit:Bah je veut montrer que Un>= 0 !!
Ah non en faite ça c'est mon hypothèse et ce que je veut montrer c'est que Un+1>=0 !!! :S

oui, tu es dans l'hérédité : ton hypothèse est bien Un>= 0
et tu veux montrer Un+1>= 0 .

Quel est le lien entre Un+1 et U_n ?

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 20:52

Bah je sais que Un+1 = Un*exp(-Un) !!

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 20:53

kikou25 a écrit:Bah je sais que Un+1 = Un*exp(-Un) !!

que sais-tu sur exp(.) ?

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 20:54

Euh que c'est toujours positif ?!

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 20:55

kikou25 a écrit:Euh que c'est toujours positif ?!

ok !

Donc ton hypothèse + ce que tu sais sur exp => ce que tu veux démonter !

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 20:57

Donc je dit que exp( -Un) >0 de plus par hypothèse de récurrence Un>0 donc Un+1 > 0 !! ?? Cela suffit comme justification ??

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 20:58

kikou25 a écrit: Cela suffit comme justification ??

:doh: :doh:
ben tu n'as jamais fait le produit de deux nombres > 0 ????

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 21:02

Pour le 3), donne tous les théorèmes que tu connais dont la conclusion contient "la suite converge" :id:

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 21:04

Bah si ! donc c'est juste ce que j'ai dit mais je voulais juste savoir si ma manière e le dire était juste ! ^^

Et la 3 je crois avoir une petit idée, je crois qu'il faut dire que comme la suite est déroissante et minorée par 0 donc elle est convergente vers un réél l . Et comme elle est continue sur .... euh je sais pas encore ??!!

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 21:07

Ca n'a pas de sens de dire qu'une suite est continue.

Bon, tu sais qu'elle converge vers un réel l.

Maintenant, passe la relation Un+1=Un*exp(-Un) à la limite quand n tend vers +oo

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 21:12

leon1789 a écrit:Maintenant, passe la relation Un+1=Un*exp(-Un) à la limite quand n tend vers +oo

Comment je procède ??
Désolé je suis " chiante " !
C'es pas par haard avec f(l) = l ??

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 21:15

Maintenant, passe la relation Un+1=Un*exp(-Un) à la limite quand n tend vers +oo

Quelle est la limite de Un ? et de Un+1 ?

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 21:17

Je sais pas :(

par **leon1789** » 23 Jan 2009, 21:19

kikou25 a écrit:Je sais pas

j'ai écrit trop vite et ma phrase n'avait pas de sens... je corrige :

Quelle est la limite de Un ? on a dit que c'est l !
et celle de Un+1 ?

par **kikou25** » 23 Jan 2009, 21:21

Bah l+1 ??

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