L'ellipse de jardinier

[Anonyme]

bonjour,
je suis en 1ère S (bah oui je suis en S mais je bloque sur mon DM!)
j'ai réussi un peu à faire la 1ère partie mais il faut normalement utiliser les coordonnées polaires et cartésiennes pour résoudre ce DM et moi j'ai utilisé le produit scalaire car je ne voyait pas d'autre méthode!
si quelqu'un pourrait m'aider cela m'arrangerai beaucoup!
voici l'énoncé:

un jardinier fixe les deux extrémités d'une corde de longueur 2a à deux points fixes A et B (2a>AB).il tend la corde,obtient un point M qu'il déplace en conservant la corde tendue (donc MA+MB=2a).
l'ensemble décrit par M est une ellipse.
Dans un repère orthonormal (O,i,j),on place les points A(-4,0) et B(4,0).
Il s'agit de construire l'ensemble E des points M tels que MA+MB=10.
On construit le cercle C de centre A et de rayon 10.
P est un point de C, la médiatrice d du segment [BP] coupe (AP) en M.
Il est évident que MA + MB = MA + MP = 10
Lorsque P se déplace sur C, on obtient le lieu de M.
On note (x;y) les coordonnée cartésiennes du point M.

1.a) prouvez que MA²-MB²=16x et que MA²+MB²=2(x²+y²+16) [1]
b)en tenant compte de MA + MB = 10 ,déduisez en que MA - MB = 8/5x
c) vérifiez alors que MA = 5 + 4/5x et MB = 5 - 4/5x
d) en remplacant MA et MB dans [1] déduisez-en que x²/25 + y²/9 = 1 [2]

2. réciproquement, tout point M(x;y) tel que x²/25 + y²/9 = 1 est-il un point de C ?
a) en écrivant y²/9 = 1 - x²/25, prouvez que x²supérieur ou égal à 25, c'est à dire -5supérieur ou égal à x inférieur ou égal à 5.
b) après avoir calculé MA² et MB² en fonction de x et y, démontrez que MA² = (5 + 4/5x)² et MB² = (5 - 4/5x)²
c)en tenant compte de la question 2.a déduisez-en que MA = 5 + 4/5x et MB = 5 - 4/5x
prouvez alors que MA+MB=10

merci

[fonfon]

Salut, as-tu deja fait quelque chose au moins le debut?

[Anonyme]

j'ai fait les 4 premières mais j'aimerai surtout savoir d'où partir pour faire la 1.a) avec les coordonnées car j'y arrive pas je tombe sur un calcul super long que j'ai pas réussi à réduire

[fonfon]

Salut,

1.a) prouvez que MA²-MB²=16x et que MA²+MB²=2(x²+y²+16)

on a la formule si les points ont respectivements pour coordonnees Mo(xo,yo) et M1(x1,y1) alors

MoM1²=(x1-xo)²+(y1-yo)2

donc ici A(-4,0) , B(4,0) et M(x,y) alors :

MA²=(-4-x)²+(0-y)²=16+8x+x²+y²
MB²=(4-x)²+(0-y)²=16-8x+x²+y²

donc MA²-MB²=16+8x+x²+y²-16+8x-x²-y²=16x

idem pour MA²+MB²=16+8x+x²+y²+16-8x+x²+y²=2x²+2y²+32=2(x²+y²+16)

j'espére que tu y voit plus clair
A+

[Anonyme]

c'est bon, j'ai réussi! merci...il me manque plus qu'à faire mon 2ème DM -_-' lol a+