Petit QCM Probas et Matrices

[QuentinDeforge]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour ce qcm de révision, vous pouvez m'aider? Il y a plusieurs réponses possibles à chaque questions :id:


1 - Une matrice carrée A de dimension n est inversible si :

A il existe une unique matrice M telle que AM=MA=Id
B zéro n'est pas valeur propre de A
C A est diagonalisable
D zéro est racine du polynôme caractéristique de A


2 - Deux évènements A et B sont incompatibles si :

A Pb(A)=P(A)
B P(AUB)=0
C P(AnB) = P(A)xP(B)
D les ensembles qui les représentent sont disjoints

3 - Une matrice carrée de dimension n est diagonalisable ssi :

A son déterminant est non nul
B la somme des dimensions des espaces propres vaut n
C ses valeurs propres sont d'ordre au moins 1
D la somme des ordres de multplicité des valeurs propres vaut n

4 - Une variable aléatoire binomiale représente :

A une situation pour laquelle il n'y a que 2 résultats possibles
B le rang du premier succès obtenu
C le nombre de succès obtenus
D la somme de variables aléatoires de Bernouili indépendantes

[Antho07]

Bonjour, qu'as-tu fais pour l'instant?

[QuentinDeforge]

1 - a

2 - d

3 - b d

4 - a d

Voila mes réponses mais je doute un peu, notement pour variable aléatoire binomiale..

[Antho07]

1 - a pas seulement

2 - d je sais pas j'ai pas fait de probas depuis longtemps

3 - b d Cela dépend si on parle de multiplicité géomètrique ou algèbrique dans le d

4 - a d j'aurais dit c et d
Voila mes réponses mais je doute un peu, notement pour variable aléatoire binomiale..

Je suis désolé pour les question sur probas (notemment la 2 je sais plus ce que signifie incompatible...

[Antho07]

Apres recherche de la definition d'icompatibilité de deux évenements, la bonne réponse semble etre d a la question 2.

Pb(A) signifie bien Probabilité de A sachant B??

[QuentinDeforge]

1 - a et b?

[QuentinDeforge]

Oui c'est ça, mais pour la 2 je suis plutot confiant...

[Antho07]

1 - a et b?

c'est ça .
Si 0 est valeur propre de A alors par définition

donc A n'est pas injectif donc pas inversible.

Reciproquement si 0 n'est pas valeur propre de A alors ker(A) est réduit à {0}.
Donc A est injective donc bijective(dimension finie) donc inversible

[QuentinDeforge]

Pour la 3, ce que l'on appelle ordre de multiplicité pour moi, c'est le nombre de fois ou la valeur propre est racine du polynome

[Antho07]

Alors si on entend par multiplicite l'ordre de multiplicite de la valeur propre en tant que racine du polynome caracteristique alors le d n'est pas une bonne réponse.

Exemple




Le polynome caracteristique est (X-1)² mais la matrice n'est pas diago.

Par ailleur si le polynome est scindé la somme des multiplicité fait toujours n mais la matrice n'est pas toujours diagonalisable

[QuentinDeforge]

hum hum.. g un peu de mal^^

L'ordre de multiplicité d'une valeur propre est bien tj supérieur ou égale à 1?

[Antho07]

Soit A un endomorphisme d'un espace E de dimension n dont le polynome caracteristique est scindé.

Alors ce polynome est de degre n. ok?


oui c 'est au moins supérieur à 1 sinon la valeur propre n'est pas racine du polynome donc n'est pas valeur propre

[QuentinDeforge]

jusque la ok

[Antho07]

Donc voila la somme des multiplicité algebrique des valeurs propres fait toujours n (si le polynome est scindé).

Mais toutes les matrices qui ont un polynome caracteristique scindé ne sont pas diagonalisables (exemple celle que j'ai donné) .

[Antho07]

Pour le terme de multiplicité , j'espere qu on parle de la même chose.
Si j'ecris le polynome caracteristique :



Alors la multiplicité algébrique de est

De plus comme ce polynome est de degré n, on a

C'est bien cela ce que t'appele multiplicité?

[QuentinDeforge]

Exemple de ce que c'est pour moi :


On a un polynome (2-y) (y^2-4)

j'aurai comme valeur propre :

- 2 d'ordre 1

2 d'ordre 2 car il est racine deux fois

[Antho07]

Exemple de ce que c'est pour moi :


On a un polynome (2-y) (y^2-4)=(2-y)(y-2)(y+2)=-(y-2)²(y+2)

j'aurai comme valeur propre :

- 2 d'ordre 1

2 d'ordre 2 car il est racine deux fois

oui on est d accord alors