pour la résolution d'une équation différentielle, il me faut un développement de Taylor.
soit
si on suppose que la fonction
Quel est l'expression de
Merci d'avance.
Problème d'application du théorème de Taylor
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Problème d'application du théorème de Taylor
par mimou » 10 Nov 2008, 14:12
Bonjour,
pour la résolution d'une équation différentielle, il me faut un développement de Taylor.
soit
 = f\left( {x\left( t \right)} \right),t \in \left[ {t_j ,t_{j + 1} } \right] \\ <br /> x\left( {t_j } \right) = x_j \\ <br /> \end{array} \right.)
si on suppose que la fonction
est une fonction de classe 
sur 
alors :
 - x\left( {t_j } \right) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {\frac{1}{{i!}}\left( {x^{\left( i \right)} \left( {t_j } \right)} \right).\left( {t_{j + 1} - t_j } \right)^i + R_k \left( {t_{j + 1} ,t_j ,\theta } \right)})
Quel est l'expression de)
?
Merci d'avance.
pour la résolution d'une équation différentielle, il me faut un développement de Taylor.
soit
si on suppose que la fonction
Quel est l'expression de
Merci d'avance.
par mathelot » 10 Nov 2008, 17:05
Bjr,
x désigne içi une fonction.
la formule de Taylor avec reste intégral comporte une dérivée
kième de x, ie, une dérivée (k-1)ième de f(x)
car x est solution de l'équa diff.
d'où , une dérivée (k-2)ième de f'(x)x' (on dérive une fonction composée)
ensuite tu appliques la formule de Leibnitz de dérivée (k-2)ième au produit
f '(x)x':
la formule est
^{(n)}=\sum_{j=0}^{n} \, (_j^n) u^{(j)}v^{(n-j)})
et il faut recommencer pour les dérivées intermédiaires.
La formule finale risque d'être très moche. :hum:
x désigne içi une fonction.
la formule de Taylor avec reste intégral comporte une dérivée
kième de x, ie, une dérivée (k-1)ième de f(x)
car x est solution de l'équa diff.
d'où , une dérivée (k-2)ième de f'(x)x' (on dérive une fonction composée)
ensuite tu appliques la formule de Leibnitz de dérivée (k-2)ième au produit
f '(x)x':
la formule est
et il faut recommencer pour les dérivées intermédiaires.
La formule finale risque d'être très moche. :hum:
par mimou » 10 Nov 2008, 20:05
Merci pour ton aide.
J'ai utilisé la formule de Taylor avec reste intégrale et voila le principe:
J'ai utilisé la dernière formule pour trouver:
 - x\left( {t_j } \right) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} \[{\frac{1}{{i!}}\left( {x^{\left( i \right)} \left( {t_j } \right)} \right).\left( {t_{j + 1} - t_j } \right)^i + \frac{{\left( {t_{j + 1} - t_j } \right)^k }}{{\left( {k - 1} \right)!}}\int_0^1 {\left( {1 - \theta } \right)^{k - 1} x^k \left( {t_j + \theta \left( {t_{j + 1} - t_j } \right)} \right)} d\theta }\])
d'ou
 - x\left( {t_j } \right) = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} \[{\frac{1}{{i!}}\left( {x^{\left( i \right)} \left( {t_j } \right)} \right).\left( {t_{j + 1} - t_j } \right)^i +<br />\frac{{\left( {t_{j + 1} - t_j } \right)^k }}{{\left( {k - 1} \right)!}}\int_0^1 {\left( {1 - \theta } \right)^{k - 1} x^k \left( {\theta t_{j + 1} + \left( {1 - \theta } \right)t_j } \right)} d\theta }\])
Merci encore une fois.
J'ai utilisé la formule de Taylor avec reste intégrale et voila le principe:
Rappel:
Soitune application de classe
de [a,x] vers un espace de Banach (E). Alors :
ou sous la forme suivante:
avec
J'ai utilisé la dernière formule pour trouver:
d'ou
Merci encore une fois.
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