(z/nz)*

par **mostdu95** » 30 Oct 2008, 22:10

bonjour
soit le groupe (Z/14Z);) .
1. Montrer que (Z/14Z);) est cyclique dordre 6.
2. Combien a-t-il de générateurs ?
deja pour la premiere question c'est les ordres qu"'il faut regarder ?
et merci d'avance

par **Nightmare** » 30 Oct 2008, 22:32

Salut :happy3:

1. Une résolution par exemple :

(Z/14Z)* est isomorphe à (Z/2Z)* x (Z/7Z)* (Théorème Chinois)

Les ordres de ces deux groupes sont premiers entre eux et les groupes sont cycliques donc leur produit l'est aussi (théorème du cours).

Par conséquent (Z/14Z)* est isomorphe à un groupe cyclique donc est lui même cyclique.

Sinon tu peux aussi en trouver un générateur, c'est moins élégant je trouve :lol2:

2. Tu connais l'indicatrice d'Euler? Si oui, c'est du cours.

par **mostdu95** » 30 Oct 2008, 23:19

d'accord merci
pour la 2) je trouve qu'il ya 6 generateur

par **ThSQ** » 30 Oct 2008, 23:19

Nightmare a écrit:(Z/14Z)* est isomorphe à (Z/2Z)* x (Z/7Z)* (Théorème Chinois)

Mmmm .

par **Nightmare** » 30 Oct 2008, 23:23

ThSQ a écrit:Mmmm .

Que me vaut se meuhmeuhmant ?

par **Nightmare** » 30 Oct 2008, 23:25

Gloup oui, ce n'est pas vraiment le théorème Chinois. Cela reste vrai cela dit :

Si m et n sont premiers entre eux, (Z/mnZ)* est isomorphe à (Z/mZ)* x (Z/nZ)*

par **mostdu95** » 30 Oct 2008, 23:36

si si si c'est bien le theoreme chinoi en tout cas nous c'est comme ça qu'on l'utilise
sinon ya bien 6 generateurs..

par **Nightmare** » 30 Oct 2008, 23:42

Le théorème Chinois énonce plutôt que Z/mnZ est isomorphe à Z/mZ x Z/nZ dans le cas où m et n sont copremiers, mais ça se conserve en prenant les inversibles, sans problème.

par **Doraki** » 30 Oct 2008, 23:46

mostdu95 a écrit:si si si c'est bien le theoreme chinoi en tout cas nous c'est comme ça qu'on l'utilise
sinon ya bien 6 generateurs..

Un groupe d'ordre 6 qui a 6 générateurs ? ça veut dire que l'élément neutre est un générateur du groupe ? .... ?

par **ThSQ** » 30 Oct 2008, 23:52

Nightmare a écrit:sans problème.

Mmmmm-bis .

par **mostdu95** » 30 Oct 2008, 23:56

Doraki a écrit:Un groupe d'ordre 6 qui a 6 générateurs ? ça veut dire que l'élément neutre est un générateur du groupe ? .... ?

ah oui en fait c'est 5 parce que le nbr de generateur C'est exactement phi(14)

par **SimonB** » 31 Oct 2008, 01:07

ThSQ a écrit:Mmmmm-bis .

Ca prouverait l'égalité 13=6, ce serait pas mal !

par **abcd22** » 31 Oct 2008, 01:42

Un isomorphisme d'anneaux transforme les inversibles en inversibles et un élément (a, b) d'un anneau produit AxB est inversible ssi a est inversible dans A et b dans B.

par **abcd22** » 31 Oct 2008, 01:44

SimonB a écrit:Ca prouverait l'égalité 13=6, ce serait pas mal !

Il est l'heure de dormir :-)

par **ThSQ** » 31 Oct 2008, 09:45

abcd22 a écrit:Il est l'heure de dormir

Lol, effectivement !

par **Doraki** » 31 Oct 2008, 14:53

mostdu95 a écrit:ah oui en fait c'est 5 parce que le nbr de generateur C'est exactement phi(14)

Ahah tu t'embrouilles..
phi(14) = 6, les nombres <14 premiers avec 14 sont 1,3,5,9,11,et 13.
Et ces 6 nombres sont les éléments du groupe (Z/14Z)*.

Mais t'as montré que (Z/14Z)* était cyclique, donc il est isomorphe à (Z/6Z,++), qui est un groupe plus simple à visualiser.
Et il y a combien de générateurs dans Z/6Z ?
C'est pas 6, et c'est pas 5 non plus

par **leon1789** » 31 Oct 2008, 22:40

en passant, phi(14) est aussi le nombre de générateurs du groupes

Par le même principe, le nombre de générateur du groupe

est ...

par **mostdu95** » 31 Oct 2008, 22:44

leon1789 a écrit:en passant, phi(14) est aussi le nombre de générateurs du groupes

Par le même principe, le nombre de générateur du groupe est ...

oui c'est pour ça que j'vais dit que c'etait 5 parce que le nombre de generateur est exactement phi(14)=6....
je comprends plus là :mur:

par **leon1789** » 01 Nov 2008, 10:21

mostdu95 a écrit:oui c'est pour ça que j'vais dit que c'etait 5 parce que le nombre de generateur est exactement phi(14)=6....
je comprends plus là :mur:

C'est parce que deux groupes différents se "cachent" dans l'ensemble des classes Z/14Z.

Le premier est additif : c'est le groupe (

, +) , cyclique, à 14 éléments. Il possède

générateurs.

Le second est multiplicatif : c'est le groupe des inversibles (

, .), cyclique aussi (cf toute la discussion), et possède

éléments. Maintenant, quel est le nombre de générateurs de second groupe (cyclique) ?

--> Il faut bien comprendre que les générateurs de Z/14Z sont exactement les inversibles de Z/14Z !

Mais je pense qu'il te serait très bénéfique de faire les calculs explicitement !!
Quels sont les inversibles et leurs inverses respectifs ?
Pour chaque élément du groupe (Z/14Z, +) , quels sont les sous-groupes engendrés ? Quels sont les générateurs ?
Pour chaque élément du groupe des inversibles, quels sont les sous-groupes engendrés ? Quels sont les générateurs ?

Et là, tu comprendras probablement mieux, en tout cas suffisamment pour que les formules deviennent claires pour toi. :id:

par **mido1983** » 13 Jan 2010, 09:47

:hum:
comment savoir qu'un groupe est isomorphe à un autre groupe.
:dodo:

(z/nz)*

(z/nz)*

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