Les ensembles suivants sont-ils convexes?

[Olijave]

Bonjour à tous

J'ai un problème pour répondre à ce genre de question: Les ensembles suivants sont-ils convexes?

Par exemple pour un ensemble tel que celui-ci:
A={(x, y, z) appartenant à (R+*)^3;
3x² + 4y² + 5z² < 1 + (x + y + z)²,
x + y + z = 4}

En essayant de démontrer que tout segment de deux point de l'ensemble appartient (ou non) à l'ensemble les calculs deviennent trop compliqué y a t'il une méthode plus efficace?

Merci d'avance.

[alavacommejetepousse]

bonsoir

on peut donner une équation cartésienne de l'ensemble C
en changeant de repère puisque C est inclus dans le plan

P : x+y+z = 4
prendre un repère (O',I,J) de P et écrire l'équation de C et éventuellement le dessiner.

[Olijave]

Merci de on aide.

Je me suis trompé dans l'énoncé la dernière équation est en fait x + y + 2z = 4

C c'est bien l'ensemble que j'appelle A?

Changement de repère:
On peut prendre O'=(1, 1, 1) (qui vérifie x + y + 2z = 4)

Ensuite il faut modifier la première équation: 3x² + 4y² + 5z² < 1 + (x + y + z)² en remplaçant x par x+1, y par y+1 et z par z+1 mais je vois pas en quoi ça aide à résoudre le problème.

[Maxmau]

Bj

Tu peux simplifier la définition de A
Identifier des convexes connus (plan , sphère, etc…)
Utiliser des résultats comme : Tout intersection de convexes est un convexe
Ou encore :
Si Q est une forme quadratique définie positive sur R^3, l’ensemble des points (x,y,z) tq Q(x,y,z) < R² est un convexe
La convexité est une notion affine : invariante par transformation affine

[Maxmau]

essaie de remplacer x+y+z par 4-z (tiré de l'égalité) dans l'inégalité

[Olijave]

Si Q est une forme quadratique définie positive sur R^3, l’ensemble des points (x,y,z) tq Q(x,y,z) < R² est un convexe

Je connaissais les autres résultats mais celui là je ne l'ai trouvé nul part.



Donc dire

3x² + 4y² + 5z² < 1 + (x + y + z)²
x + y + z = 4

Equivalent à

x + y = 4 - z
3x² + 4y² + 5z² < 17

et

(3 0 0)
(0 4 0) a pour valeur propre 3, 4 et 5 toutes strictement positives
(0 0 5)

Donc 3x² + 4y² + 5z² forme quadratique définie positive

Suffit à démontrer que A est convexe?

[Maxmau]

Je connaissais les autres résultats mais celui là je ne l'ai trouvé nul part.



Donc dire

3x² + 4y² + 5z² < 1 + (x + y + z)²
x + y + z = 4

Equivalent à

x + y = 4 - z
3x² + 4y² + 5z² < 17

et

(3 0 0)
(0 4 0) a pour valeur propre 3, 4 et 5 toutes strictement positives
(0 0 5)

Donc 3x² + 4y² + 5z² forme quadratique définie positive

Suffit à démontrer que A est convexe?

OUI

remarque: 3x² + 4y² + 5z² est clairement une forme quadratique définie positive
Remarque: je partai du texte rectifié mais peu importe le méthode est bonne

[Maxmau]

Il faut quand même terminer en disant qu'on a l'intersection de 2 convexes (le plan est un convexe) donc un convexe

[Olijave]

Merci beaucoup c'est plus simple que que le coups du segment appartenant à l'ensemble.

Si je prend deux autres exemples (j'arrète de vous embéter après):

B= {(x, y) appartenant à R²; (x - y)² + e^(x+y) =< 2}

f=(x - y)²=x² -2xy +y²

hess(f) définie positive donc f convexe
e^(x+y) convexe

La somme de deux fonctions convexes est convexe donc (x - y)² + e^(x+y) est convexe

B définie par une fonction convexe inférieur ou égale à un réel
Donc B convexe


C={(x, y, t) appartenant à R^3 |x-2y| + x² =< t}

De même:
|x-2y| convexe (la fonction valeur absolue est convexe mais c'est peut être insuffisant dans ce cas là?)
x² convexe

Donc |x-2y| + x² convexe

Donc C est convexe


C'est suffisant?

[Maxmau]

Bj

OK C’est là une application de résultats sur les fonctions convexes
- H>0 entraine fonction convexe
Une retombée de ce résultat est qu’une forme quadratique > 0 est une fonction convexe
- Somme de 2 fonctions convexes est convexe
- Lorsque f est convexe {(x,y,z) ds R^3 : f(x,y}de même {(x,y) ds R² : f(x,y}
La transformation affine (x,y,z) -----> (X,Y,Z) tq X = x-2y , Y = y , Z =z transforme
A = {(x,y,z) de R^3 : |x-2y|Comme la valeur absolue est convexe, B est convexe. Une transformation affine transforme un convexe en un convexe donc A est convexe et donc la fonction (x,y) -----> |x-2y| est convexe

[Olijave]

Merci pour toutes tes réponses ça m'a bien aidé.