Variance et écart-type : cours

[Mme Patate]

Bonjour,
J'étudie présentement ma leçon de mathématiques sur les statistiques et plus précisément les variances et écarts-types, comme cité dans le titre ci-dessus.
Je rencontre cependant quelques problèmes quant à la compréhension de ces derniers.
En effet, je ne comprend absolument pas comment calculer ces données.
Ainsi, pouvez-vous m'expliciter rapidement ce problème ?
Pour faciliter les choses, voici l'exemple, présent dans le livre, que nous avons à traîter :

Enoncé :
On reprend les valeurs des précipitations moyennes mensuelles (en millimètres) à Nice et à Paris.

J F M A M J J A S O N D
Nice 67 83 71 70 39 37 21 38 83 109 158 92
Paris 53 48 40 45 53 57 54 61 54 50 58 51

Il faut donc calculer la moyenne, puis la variance et enfin l'écart-type. Les solutions nous sont données mais elles ne sont malheureusement pas détaillées, d'où mon incompréhension. Voici les solutions : xn = 72,3
Vn = 1292,2
Sn = 35,9

De plus, dans le cours de mathématiques que les élèves de ma classe et moi-même avons à notre disposition, un exemple est donné, il est intitulé " Cas où les effectifs ni sont égaux à 1 ". Ce titre, lui aussi me pose problème : Cela voudrait-il dire qu'il y a plusieurs manières de calculer une variance selon le problème considéré ?

Merci d'avance,
Bien amicalement.

[Benjamin]

Bonjour,

En fait, pour calculer une moyenne, on peut attribuer un poids plus important à une donnée qu'à une autre. Par exemple, pour tes cours, le français compte avec un coefficient différent que les mathématiques.
Dire "cas où les ni sont égaux à 1" veut dire que tu attribues le même poids à chacune de tes données.
C'est le cas de cette exercice. Un mois n'a pas plus d'importance qu'un autre.
Pour calculer la moyenne, il suffit donc de sommer toutes les valeurs et de diviser par le nombre de mois.

Ensuite, l'écart-type représente la "moyenne" de l'écart des valeurs à la moyenne. C'est pas facile à comprendre comme ça, mais en fait, c'est très simple.
C'est une grandeur qui permet de mesure la dispersion. Si dans une classe, tu as 12 moyenne et que tous les élèves ont entre 11 et 13 de moyenne, c'est très peu dispersé, l'écart-type est faible.
Si au contraire, il y a beaucoup de personne qui ont 6 de moyenne, et beaucoup d'autre qui ont 18, les résultats sont dispersés, et tu as un écrat-type fort.

L'écart-type se déduit de la variance. En fait, on ne fait pas une moyenne directement des écart à la moyenne. En fait une moyenne des écart à la moyenne au carré, et on prend la racine carré. Ne cherche pas à savoir pourquoi on se complique la vie comme ça lol.

En résumé, il faut retenir que l'écart à la moyenne, c'est la valeur-moyenne.
Tu fais ça pour toutes les valeurs, et tu élèves au carré. Puis tu fais une moyenne de toutes ces nouvelles valeurs comme précédemment. Au final, prendre la racine carré te permet de trouver l'écart-type.

En fait, quand tu as une répartition gaussienne, 95% des valeurs de ta série se situe dans l'intervalle [moyenne-ecarttype ; moyenne+ecarttype] et 68% dans l'intervalle [moyenne-2*ecarttype ; moyenne+2*ecarttype].
C'est aussi une façon de voir ce qu'il représente.

A plus, n'hésite pas à poser tes questions

[Mme Patate]

Tout d'abord, merci pour tous ces éclaircissements, je comprend tout un peu mieux à présent !
Simplement, pour ce qui est de la variance, pour l'exemple donné, j'ai procédé comme vous me l'avez indiqué, mais je n'ai pas trouvé les résultats donnés par le livre ... Un problème persiste donc. J'ai refait plusieurs fois mes calculs, et j'ai à chaque fois trouvé 10266/12 = 855,5 au lieu de 1292,2, comme indiqué dans l'énoncé.
Pouvez-vous m'aider ?

[Benjamin]

La moyenne est de 72.3, les écart à la moyenne sont donc :
-5.3 10.7 -1.3 -2.3 -33.3 -35.3 -51.3 -34.3 10.7 36.7 85.7 19.7
(on soustrait la moyenne à chaque valeur)

Ensuite, on élève au carré :
28.09 114.49 1.69 5.29 1108.89 1246.09 2631.69 1176.49 114.49 1346.89 7344.49 388.09

Et en faisant la moyenne de ces valeurs, on a la variance. Pour avoir une valeur significative par rapport à la série de départ, il faut prendre la racine carré pour avoir l'écart-type.

[Mme Patate]

Merci beaucoup, je viens de voir qu'il s'agissait simplement d'erreurs d'arrondis.
Merci Merci Merci,
Amicalement Votre.