Tribu

[parisien75]

Bonsoir.

J'ai un exercice sur les tribus qui me pose problème.

Soit

Soit , et .

On me demande de déterminer la tribu engendré par A, B et C : , donc c'est l'ensemble des parties de que je peux creer à partir de A,B et C par complémentaritée et reunion.

J'obtient ainsi

On me demande par la suite de caracteriser les applications mesurables de dans muni de .

Je ne vois pas trop comment les caracteriser, si vous pouriez me donner une piste,cela m'aiderai !!
Merci d'avance

[tize]

Bonsoir,
essaie une combinaison linéaire des indicatrices de A, B,C et D={3}

[parisien75]

Bonsoir Tize, merci pour ta réponse, mais je ne vois pas trop comment m'y prendre.
A la base, pour montrer qu'une fonction à valeurs dans est mesurable,on montre que pour tout ouvert , est mesurable. Et je ne vois pas du tout vers ou me diriger.

[tize]

Bonsoir,
déjà tu peux remarquer qu'une partie P est mesurable SSI elle s'écrit comme réunion d'éléments de {A,B,C,D}.
Donc pour tout fermé , s'écrit comme une réunion d'éléments de {A,B,C,D} et comme f ne peut prendre qu'au plus 4 valeurs a1,a2,a3,a4, et les s'écrivent comme une réunion d'éléments de {A,B,C,D} forcément 2 à 2 disjoints

[parisien75]

Bonjour.

Je ne comprend pas pourquoi on a ceci:

f ne peut prendre qu'au plus 4 valeurs a1,a2,a3,a4

Consideres tu que






Mais pour les autres éléments de ??

[tize]

Bonjour,
n'a que 5 éléments, il y a donc au plus 5 images mais ne fait on peut même dire qu'il y en a au plus 4 car nécessairement car sinon on a par exemple et on pourrait alors trouver un élément de la tribu qui contient mais pas () ce qui est impossible d'après la description de la tribu que tu as fait dans ton premier message.

[parisien75]

Donc en reprenant tout:

( , ) un espace mesurable.

On veut caractériser les application mesurable de dans .

On remarque que prend 5 valeurs au maximum. On les notes
Or, Si on pose et on suppose que alors contient mais ne contient pas , donc n'est pas mesurable sur car nn inclus ds
Donc ces application mesurables, possedent 4 images au plusque l'on note :


Mais pourquoi:

et les s'écrivent comme une réunion d'éléments de {A,B,C,D} forcément 2 à 2 disjoints

Pour moi par exemple,

Merci pour ta patience .

[tize]

Tout ensemble mesurable est réunion d'éléments de {A,B,C,D} car A,B,C et D sont des éléments constitutifs de la tribu; regarde la tribu que tu as explicitée dans ton message1 tout ensemble mesurable peut s'écrire comme réunion de A, B, C et D.
Pour le "2 à 2 disjoints" c'était dans le cas où l'on a 4 valeurs distinctes....
Mais de manière plus générale (ça se voit, non ?) si forme une partition de fini telle que tout élément mesurable s'écrit comme réunion de alors les applications mesurables sont de la forme