Problème " Deux suites d'approximation de e "

[harkonen]

Bonsoir a tous!
Je m'entrainais pour des DS groupés en février, et je suis tombé sur ce problème :



Pour A)
1)
U1 = 1 + 1 / 1 = 2
U2 = 1 + 1 / 1 + 1 / 2 = 5/2
U3 = 1 + 1 / 1 + 1 / 2 + 1 /6 = 8/3
V1 = 2 + 1 /1 = 3
V2 = U2 + 1 / 2*2 = 2.75
V3 = U3 + 1 / 3*3*2 = 49/18
2)
(Un) est croissante lorsque pour tout entier n Un http://img182.imageshack.us/img182/2430/sanstitre1mk3.jpg

[hellow3]

Salut.

1. OK
2. U(n+1)=Un + 1/(n+1)!

[harkonen]

Merci de ta confirmation.

pour la 2)
si U(n+1)=Un + 1/(n+1)!
et Un < Un+1
Alors Un < Un + 1/(n+1)!

Je ne vois pas comment on peut dire que U(n) est croissante ... :briques:

[hellow3]

n>0
n+1>0
(n+1)! >0
1/(n+1)!>0
Un+1 - Un = 1/(n+1)!
Un+1 - Un >0
Un+1 > Un

[harkonen]

Exact!
Pour (Vn) décroissante c'est la même technique je suppose.

Pour la 3) les limites :
quand n tend vers + l'infini
n! -> + linfini
Donc le tout tend vers 0
peux tu confirmer ou corriger ?

[hellow3]

C'est bien ça.

[harkonen]

oki, et donc : deux suites sont adjacentes si et si Un croit Vn décroit et lim (Un-Vn)=0

Donc Un et Vn sont adjacentes.
Pour l'encadrement je ne trouve pas :marteau:

[hellow3]

lim Un = lim Vn= l

Soit [Un;Vn] Un intervalle contenant l.
On veut [TEX]Un-Vnn pour tout n, donc n*n!>n²
On essaye juste de faire n²>10^3
ce qui est vrai pour n>V(10^3) soit n>10^(3/2).

[harkonen]

Wahou, merci beaucoup! :doh:
Je continuerai l'exercice demain, je commence a fatigué.
Mais j'ai lu la suite de l'énoncé et je bloque a certains endroit.

Encore merci a toi ! :++:

[harkonen]

Pour le B)
il n'y aurait pas une ereure dans l'énoncé :
f(x) = ( 1 + x / 1! + x² / 2!+ .... )

x² a la place de xe ?!
et pour calculer f(o) je ne vois pas trop comment faire .... :hum:

[harkonen]

up! :hum: :hein:

[hellow3]

Oui c'est plus logique que ce soit x².

Pour le calcul de f(0): pour tout k entier positif, pour x=0,

[harkonen]

pour x = 0
f( x ) = (1+x/1)e^-x
e^0 = 1
1+0/1 = 1
et 1 * 1 = 1

Donc f 0 ) = 1

f(1)=Un * e^-1
Car f(x) = (1 + x/1!)* e^-x
donc si x=1
f(1) = (1 + 1/1!)* e^-1
et vu que Un = (1 + 1/1!)
alors f(1)=Un * e^-1

Est ce corect ?

[harkonen]

Par contre je bloque pour la dérivée.
Montrer qu'elle est dérivable je seche

et pour calculer f' je ne sais pas comment faire
car je sais que x -> x^k/k! donne x -> x^(k-1) / (k-1)!

mais quel x faut il prendre???
faut il aussi utiliser (u*v)' = u'*v + v'*u ??

merci

[harkonen]

up :help:

[hellow3]

Pour f(0) et f(1) oui c'est bon (t'as pris n=1 pour tes developpements).

Derivabilité:
x ->x^k/k! derivable qur [0;1]
x -> 1+ x +x^2/2! + ... x^n/n! est derivable sur [0;1] car c'est une somme de fonctions derivables.
Et tu continue avec le produit.

Pour la dérivée, ta formule est bonne. Je comprends pas ta question sur le x.
Soit les fonctions u et v tel que:
v(x)=e^-x
v'(x)=-e^-x

u(x)=1+ x +x^2/2! + ... x^n/n!
u'(x)=1+ x +x^2/2! + ... x^(n-1)/(n-1)!
[remarque: u(x)-u'(x)= ?]

(u(x)*v(x))' = u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) =
Comme v(x)=-v'(x):
=v(x)* [u'(x)-u(x)]

La suite a pas l'air trop dur.

[harkonen]

Meci beaucoup pour cette aide!

Pour lé dérivée je toruve bien ce que dit l'énoncé

pour le 2)
g'x) = f'(x) + x^-1 / (n-1) !

??

[hellow3]

x/n! = (1/n!)*x avec 1/n! qui est une constante.