Irrationalité de racine de 2

[skyman_t]

Bonjour vous allez me dire qu'il il y a déja plein de post sur ce sujet mais j ai pas trouvé toutes les réponses a mes questions pouvez vous m aider svp
Voila :

On suppose que racine de 2 est rationnel , c'est a die qu'il peut s'écrire sous forme irréductible p/q , p et q étant des entiers naturel non nuls.

1.Justifier que p²=2q² OK
En déduire que p² est pair.

2.En utilisant la forme générale d'un entier impair , montrer que si p est
impair alors p² est impair.
De même , montrer que si p est pair alors p² est pair.

3.En déduire que p est pair.

4.Comme p est pair , posons p=2p'
Démontrer alors que q²=2p'²
En déduire que q est pair.

5.Pourquoi les réponses 3 et 4 sont-elles contradictoires avec les hypotèses de l'énoncé
En déduire que racine de 2 est irrationnel.

[Chimerade]

Bonjour vous allez me dire qu'il il y a déja plein de post sur ce sujet mais j ai pas trouvé toutes les réponses a mes questions pouvez vous m aider svp
Voila :

On suppose que racine de 2 est rationnel , c'est a die qu'il peut s'écrire sous forme irréductible p/q , p et q étant des entiers naturel non nuls.

1.Justifier que p²=2q² OK
En déduire que p² est pair.

2.En utilisant la forme générale d'un entier impair , montrer que si p est
impair alors p² est impair.
De même , montrer que si p est pair alors p² est pair.

3.En déduire que p est pair.

4.Comme p est pair , posons p=2p'
Démontrer alors que q²=2p'²
En déduire que q est pair.

5.Pourquoi les réponses 3 et 4 sont-elles contradictoires avec les hypotèses de l'énoncé
En déduire que racine de 2 est irrationnel.

Où sont tes questions ? Qu'as-tu fait déjà ? Où cela bloque-t-il ?

[Anonyme]

g seulement commencer le question 1

[skyman_t]

voila ce que g trouvé pour la question 1
p/q = racine de 2 alors racine de 2 au carré = (p/q)²= 2 donc p² =2q²

[Chimerade]

voila ce que g trouvé pour la question 1
p/q = racine de 2 alors racine de 2 au carré = (p/q)²= 2 donc p² =2q²

Qu'est-ce qui t'empêche de conclure que p² est pair ?

[Chimerade]

Ensuite, quelle est la forme générale des entiers impairs ?

[skyman_t]

je c pas se qu il faut faire

[skyman_t]

la forme générale des entiers impair est 2k+1 c'est sa ?

[skyman_t]

aidez moi svp

[sbz]

oui un impaire peu secrire n = 2k+1

[skyman_t]

g réussis toutes les questions sauf la 4
je suis perdu

[Chimerade]

la forme générale des entiers impair est 2k+1 c'est sa ?

Bon : tu as p=2k+1. Calcule p² ! A-t-il une tête de nombre impair ou de nombre pair (ou peut-être autre chose ???)

[skyman_t]

tu parle de quel question ?
p² =2k²+2k+1??????
donc impair

[skyman_t]

c a la 4 que je comprend rien avec p' je suis perdu

[Chimerade]

Bon : tu as p=2k+1. Calcule p² ! A-t-il une tête de nombre impair ou de nombre pair (ou peut-être autre chose ???)

p²=2q²

Comme p est pair , posons p=2p'
Démontrer alors que q²=2p'²
En déduire que q est pair.
(2p')²=2q²
4p'²=2q²
2p'²=q²
Donc q est forcément pair !

[skyman_t]

merci et pour la 5 j ai di que p et q étai tou les 2 pair alors que p/q est irréductible , ce n est pas possible il y a contradiction entre les réponsees 3 et 4. p et q sont divisible par 2 car ils sont tous les 2 pair.

[skyman_t]

pour la 3 g un doute voila ce que g mis
le carré de p est pair alors p est lui même pair , donc de la forme 2k .

[Chimerade]

pour la 3 g un doute voila ce que g mis
le carré de p est pair alors p est lui même pair , donc de la forme 2k .

Ce n'est pas suffisant. Il faut dire : "Nous avons montré à la question 2) que si p est impair alors p² est impair. Il en résulte que si p² est pair, p ne peut pas être impair car on aurait une contradiction. Donc p est pair.

[skyman_t]

ok merci et tu pense koi de la réponse a la question 5 ?

[Chimerade]

ok merci et tu pense koi de la réponse a la question 5 ?

3 tout seul ou 4 tout seul n'est pas contradictoire avec les hypothèses.
Mais 3 ET 4 ensemble est contradictoire avec l'hypothèse selon laquelle p/q serait une fraction irréductible. Il va de soi que si p et q sont tous deux pairs, on peut simplifier la fraction p/q donc elle n'est pas irréductible.

Or la seule hypothèse que l'on a faite était précisément que la racine de deux était rationnelle ; la première conséquence était qu'on pouvait trouver une fraction irréductible qui lui soit égale. Et à la fin, on aboutit à une contradiction. Il nous faut donc rejeter l'hypothèse selon laquelle racine de 2 serait égale à une fraction, c'est-à-dire serait rationnel : donc aucun rationnel n'admet 2 pour carré !