Exercice, suites continues [Term S]

par **poux** » 04 Oct 2007, 13:34

On considère l'application f de R dans R définie par :

si x appartient à [0, 2], f(x) = x²(2-x)
et pour tout x de R, f(x+2) = f(x).

1. Etudier la restriction f;) de f à l'intervalle [0, 2] et construire la courbe représentative de f;).

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l'intervalle [2n, 2n+2] où n est un élément de Z.

2. Démontrer que :
si x appartient à [2n, 2n+2], alors f(x) = (x-2n)²(2n+2-x)

3. Est-ce que f est continue sur R ? Est-ce que f est dérivable sur R ?

--- pour la 1e question, il faut bien étudier les limites de f en 0 et 2?

par **thomasg** » 04 Oct 2007, 13:54

f est définie en 0 et en 2, il n'y a donc pas de limite à rechercher.

par **rene38** » 04 Oct 2007, 13:57

En revanche, il serait utile de calculer la dérivée à droite en 0 et la dérivée à gauche en 2.

par **poux** » 04 Oct 2007, 15:56

une dérivée à droite? :o

oui donc on a juste à dériver f'(x) et faire un tableau de variation
on trouve une racine 4/3

on suppose, pour la 2e partie de la 1ere question, que f est périodique d'une période 2 (ce qui n'est vraie que sur [0, 2] !!)

mais par contre pour la question 2
Démontrer que :
si x appartient à [2n, 2n+2], alors f(x) = (x-2n)²(2n+2-x)

on utilise une démonstration par récurrence ?... :(

par **rene38** » 04 Oct 2007, 16:11

on suppose, pour la 2e partie de la 1ere question, que f est périodique d'une période 2

On ne suppose pas : "pour tout x de R, f(x+2) = f(x)" le montre clairement.

(ce qui n'est vraie que sur [0, 2] !!)

Non : pour tout x de R ... donc par exemple f(1,5)=f(3,5)=f(5,5)=f(-0,5)...=f(x+2n), n entier.

pour la question 2
Démontrer que : si x appartient à [2n, 2n+2], alors f(x) = (x-2n)²(2n+2-x)

on utilise une démonstration par récurrence ?

Inutile (voir ci-dessus)

par **poux** » 04 Oct 2007, 17:43

oulala, si on regarde le graph de la courbe sur la calculatrice, on remarque que f n'est pas périodique

par **poux** » 04 Oct 2007, 19:03

rene38 a écrit:En revanche, il serait utile de calculer la dérivée à droite en 0 et la dérivée à gauche en 2.

les dérivées de ces deux nombres me servent à quoi?

par **thomasg** » 04 Oct 2007, 20:14

Cela te sert à connaître le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative de f aux deux points (0 ; f(0)) et (2 ; f(2)).

par **poux** » 04 Oct 2007, 21:09

hmhm, j'avais pas pensé à construire les tangentes
mais les tangentes me servent-elles dans l'exercice?
(mon dieu j'ai l'impression de nager)

par **rene38** » 04 Oct 2007, 23:37

Elles te servent pour répondre à la question : "Est-ce que f est dérivable sur R ?"

par **thomasg** » 05 Oct 2007, 08:00

Elles te servent aussi à tracer une courbe qui ressemble à quelque chose.

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