Exercice I: - Intersections dans un repère de l'espace( i, j et k sont toujours des vecteurs)
soit un repère (O ; i ; j ; k)
(a) Tracer sur une feuille blanche A4 le repère (O ; i ; j ; k) en
perspective parallèle puis placer les points A(5;0;0), B(0;3;0),
C(0;0;4), D(3;0;0) E(0;6;0) et F(0;0;6).
(b) Construire l'intersection des plans (ABC) et (DEF).
(c) (d) est la droite commune aux deux plans. Calculer les
coordonnées des points d'intersection de la droite (d) avec les
plans (O; i ; j ) et (O ; i ; k)
(d) Démontrer que les droites (d) , (CB) et (EF) sont concourantes,
puis, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
Exercice II: - Lieu géométrique ( i, j et k sont toujours des vecteurs)
Dans un repère orthonormé (O ; i; j; k), on donne les points A(2;-1;2) et B(-2;1;-2)
On considère la fonction f qui à tout point M (x; y; z) de l'espace associe le nombre réel MA²+MB².
(a) Exprimer f(M) en fonction de x; y et z
(b) Démontrer que l'ensemble des points M tels que f(M)= 18 est
réduit à un point. Que représente ce point pour le segement [AB] ?
(c) Caractériser géométriquement l'ensemble des points M tels que f(M)= 30.
(d) Caractériser géométriquement l'ensemble des points M tels que
f(M) = k en discutant selon la valeur du réel k. ( dans ce cas, k
n'est pas un vecteur)
Exercice III - Moyennes
Soient a et b deux réels positifs ou nuls.
mA, mG et mH désignent respectivement les moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques de a et b. C'est à dire :
mA= (a+b)/2 , mG=
(ab) et mH = ((a^-1 + b^-1)/2)^-1(a) Démontrer que les trois nombres mA, mG et mH sont toujours rangés dans le même ordre quels que soient les valeurs de a et b.
(b) Un véhicule se déplace d'un lieu à un autre à la vitesse constante a, puis revient à son point de départ à la vitesse b.
Montrer que la vitese moyenne aller-retour du véhicule correspond à l'une des trois moyennes ci-dessus ( trouver laquelle et justifier).
Exercice IV - Une inégalité
Existe-il un réel a pour lequel :
(1+x) 1+ ax pour tout x appartient à [-1;1] ?