Sujet maths 1 mines 2007

[kazeriahm]

bonjour, j'ai passé le concours commun mines ponts la semaine dernière et j'ai pas mal bloqué sur une question (en fait la dernière). Si l'un d'entre vous a le courage de se pencher sur le problème, ca serait sympa, merci à lui :we:

D'abord quelques notations et des résultats intermédiaires...

N est un entier strictement positif, x est une application de Z dans R verifiant :
(1) x(0)=0
(2) si a n'est pas premier avec N, alors x(a)=0
(3) x(a*b)=x(a)*x(b) pour tout a et b dans Z
(4) x n'est pas la fonction nulle et x est N périodique

Je mets les résultats intermédiaires qui me semblent utiles :

si a est premier avec N, alors |x(a)|=1
la série des x(k)/k, k>=1 est convergente

on pose pour n>=1

si m et n sont premiers entre eux, alors

La série entière a pour rayon de convergence 1 et sa somme est notée f(x).

Ma question est :
montrer que pour tout x dans [1/2,1[,



merci sandrine pour le tex

[sandrine_guillerme]

bonjour, j'ai passé le concours commun mines ponts la semaine dernière et j'ai pas mal bloqué sur une question (en fait la dernière). Si l'un d'entre vous a le courage de se pencher sur le problème, ca serait sympa, merci à lui :we:

D'abord quelques notations et des résultats intermédiaires...

N est un entier strictement positif, x est une application de Z dans R verifiant :
(1) x(0)=0
(2) si a n'est pas premier avec N, alors x(a)=0
(3) x(a*b)=x(a)*x(b) pour tout a et b dans Z
(4) x n'est pas la fonction nulle et x est N périodique

Je mets les résultats intermédiaires qui me semblent utiles :

si a est premier avec N, alors |x(a)|=1
la série des x(k)/k, k>=1 est convergente

on pose pour n>=1

si m et n sont premiers entre eux, alors

La série entière a pour rayon de convergence 1 et sa somme est notée f(x).

Ma question est :
montrer que pour tout x dans [1/2,1[,

pour l'infini c'est \infty
et pour >= c'est \ge

[Alpha]

Salut, malheureusement, moi non plus je n'ai pas eu le temps de faire cette question, mais vers la fin j'ai trouvé comment faire : en fait c'est une banale comparaison série intégrale, sauf qu'il faut regarder, à x fixé, l'application t-> e^(-t^x²) enfin je crois, si mes souvenirs sont bons.
Je ne me souviens plus très bien mais je sais que la principale difficulté était de ne pas s'emmêler avec les différentes variables.

[kazeriahm]

ok... je vois pas trop ou tu veux en venir...
moi j'avais cherché la comparaison série intègrale (c'était une indication de l'énoncé) en disant que



mais le principal problème est de se ramener à f en fait (et d'introduire les f_n)

[Alpha]

Eh bien on avait montré que les f_n² étaient plus grands que 1 si je ne m'abuse,
du coup f(x) > somme des f_n² x^(n²) > somme des x^n²
Maintenant tu dois comprendre ce que je voulais dire, je pense :lol4:.

[kazeriahm]

well well en effet ca marche très bien merci beaucoup alpha :happy2: