[1ère S] Une rotation pour démontrer (résolu)

[Yumeno]

Bonjour à tous, je me retrouve en difficulté pour un exercice de DM dont les premières questions sont relativement simples, mais pour lequel la dernière est, je trouve, assez ardue.

Dans le plan, ABC est un triangle. On construit extérieurement au triangle les carrés ACRS et BAMN tels que : (AM , AB) = (AC , AS) = pi/2 , puis le parallélogramme MASD dont on note I le centre.

On se propose de démontrer que la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (BC) et que AD = BC.

On note la rotation r de centre A d'angle + pi/2.

a) Quelles sont les images de M et C par r ?
(J'ai trouvé r(M) = B et r(C) = S.)

b) On note S' l'image de S par r. Démontrer que A est le milieu du segment [CS']. (Fait, avec deux rotations r l'image de C est S', et il y a conservation des longueurs.)

c) On note I' l'image de I par r. Démontrer que I' est le milieu du segment [BS']. (Fait, conservation des milieux, puisque I milieu de [MS] et qu'on a les images de ces points, I' est le milieu du segment image de [MS] qui est [BS'].)

d) Conclure.

Il faut donc, à la lumière de ce que l'on a démontré plus tôt, prouver que (AD) et (BC) sont perpendiculaires et que AD = BC. Malgré de nombreuses tentatives avec la conservation des longueurs lors d'une rotation, je n'ai rien trouvé de concluant... Merci d'avance pour toute votre aide.

[rene38]

Bonjour

Juste des pistes :
I' est le milieu de [BS'] et A est le milieu de [CS'] donc
I'A=1/2BC et (I'A)//(BC)
de plus, I'A=IA=1/2AD et (I'A) est perpendiculiare à (AD).

[Yumeno]

Merci beaucoup pour les pistes que vous m'avez proposées. Elles m'ont bien aidé à arriver au bout du problème... Merci !