Triangle et cos

[Bygy66]

Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice pouvez vous m’aider
Merci beaucoup

Ex 1 : Déterminer tous les vrais triangles tels que la somme des cosinus des angles soit égale à 3/2.

[mathelot]

Bonsoir,
il y a déja les triangles équilatéraux

[tournesol]

On peut étudier les extremums de cos x + cos y + cos(pi - x - y) et constater que 3/2 est un ...

[mathelot]

Bonsoir,
on pose car



1) calculer
2) Montrer que le système, noté (E)

entraine ou
3)1er cas : (x;y) vérifie le système (E) et x=y
entraine puis
4) 2ème cas: (x;y) vérifie le système (E) et . Pourquoi
ces conditions n'apportent pas de nouvelles solutions ?
5) Calculer
6) quels sont les signes de
7) en déduire que f atteint son maximum au point
8) Conclure

[Ben314]

Salut,
Ici, d'utiliser les fonctions de plusieurs variable, c'est un peu un marteau pour ecraser une mouche :
Dans f=cos(x)+cos(y)+cos(z), si on regarde y comme une constante et z comme une fonction de x (z=pi-y-x), la derivee est f'=-sin(x)+sin(z) qui est positive lorsque z est entre x et pi-x.
Mais comme z<pi-x on a f'>0 <=> x<z : la fonction atteint donc son maximum lorsque les angles z et x sont égaux. Et ça implique évidement que la max pour les trois angles variables est atteint lorsque les trois angles sont égaux.

[Chamfort]

les chemins sont différant , mais belles démonstrations des deux

[azf]

L'ensemble de tous ces triangles à permutations des sommets près est

[azf]

NB:
Dans le même temps celui qui pose la question pourra remarquer l'inutilité de ma réponse même si certes j'ai répondu à la question : "déterminer tous les triangles non plats tels que la somme des cosinus des angles vaut 3/2"
C'est une question de cours et du coup j'imagine donc qu' il n'est pas demandé que la réponse soit "utile" mais exacte
Perso moi je préfère une autre réponse (celle de Ben 314 que je n'avais pas vu d'ailleurs) et vous, vous préférez celle-ci ou une autre?

[mathelot]

soit f(x;y)=cos x + cos y - cos(x+y)
Par curiosité, quel est le minimum de cette fonction ? est-ce 1 ?

[tournesol]

Sur quel domaine ?sinon c'est -3 avec x=y=pi

[mathelot]

L'ensemble de tous ces triangles à permutations des sommets près est

Bonsoir azf,
d'où vient cette équation de degré 3 ?

[azf]

Bonsoir Mathelot

d'où vient cette équation de degré 3 ?

de la somme des cosinus

(formule des cosinus)

il vient donc que si alors



et pour vérifier que le triangle ne soit pas plat on doit vérifier



pour des triangles semblables et par homothétie on peut poser a=1 et bosser cette équation du troisième degré sur ce triangle là (où on recherchera les conditions sur b pour l'existence d'une solution strictement positive qui sera donc la valeur de c et en veillant bien à la cohérence de t car lui est une somme de cosinus d'un triangle et n'est donc pas un réel quelconque)