Récurrence

[kadaid]

Bonjour,

Uo=8 et U(n+1)=Racine(Un + 1)
Démontrer par récurrence : 1<=U(n+1)<=Un

Initialisation: U1=3
1<=3<=8 donc vrai
Soit Pn: 1<=U(n+1)<=Un. Il faut démontrer : 1<=U(n+2)<=U(n+1)

Je pars de Pn car supposée vraie.
1<=U(n+1)<=Un
1<=Racine(Un +1)<=Un
1<=U(n+1 )<=Un
Là je bloque.

Merci d'avance

[catamat]

Bonjour

Partir de la double inégalité qui est l'hypothèse de récurrence puis lui appliquer successivement les deux fonctions suivantes en précisant leur sens de variation :

[kadaid]

f(x)=Racine(x+1) définie sur [-1;+oo[
f'(x)=1/(2Racine(x+1) sur]-1;+oo[
f'(x)> 0 sur ]-1;+oo[
Donc f strictement croissante sur [-1;+oo[
f(1)<=f(U(n+1))<=f(Un)
1<=Racine(2)<=U(n+2)<=U(n+1) puis la phrase habituelle de l'hérédité.
C'est ça ?

[catamat]

Oui c'est correct .

f a simplement besoin d'être strictement croissante sur [1;+oo[ donc pas la peine de s'embêter avec la valeur (-1) où f n'est pas dérivable.

[kadaid]

Une question:
Dans ce cas précis, la méthode que j'ai utilisée ne donnera rien ?

[catamat]

Méthode ? Là je vois plutôt que tu tournais en rond !

Il y a d'autres méthodes mais celle là est la plus rapide.

[kadaid]

Oui, je tournais en rond.

"Il y a d'autres méthodes mais celle là est la plus rapide."

Peux-tu m'en donner une ?

[catamat]

Par ex;
Poser f définie sur R+ par

On a

donc

Une étude du signe de f(x)-x permet de conclure pour le sens de variation de la suite, mais dans cet exemple c'est mal adapté.

[kadaid]

Et bien, merci pour tout.