Point fixe/continuité

[jiol]

Bonjour à tous, je bloque sur un exo de colle de math qui ma pas l'air si compliqué mais je sais vraiment pas par quoi commencer, je dois montrer que pour "une fonction f continue sur IR à valeur dans IR n'a pas de point fixe, montrer que fof n'a pas de point fixe"
Ce qui me pose vraiment problème c'est l'intervalle donné et le fait qu'il n'y est pas point fixe à démontrer.
Merci d'avance pour vos réponses.

[phyelec]

Bonjour,

quelle est votre fonction?

[jiol]

celle-ci n'est pas préciser malheureusement.
L'énoncé est tel quel entre guillemet.

[phyelec]

essayer par l'absurde:
on suppose que f a un point fixe que l'on appelle a alors f(a)=a, fof(a)= f(f(a))=f(a)=a ce qui est faux puisque que f n'a pas de point fixe

[jiol]

D'accord merci pour ta réponse mais peut être que c'est une question bête mais si je passe par l'absurde, ici je pose f avec un point de fixe, je peux pas dire à la fin que f n'a pas de point fixe. Dans ta réponse on aurait pas plutôt montrer que si f à un point fixe alors fof aussi?

[mathelot]

Soit une fonction f continue sur IR à valeur dans IR sans point fixe, alors fof n'a pas de point fixe"

je pense que c'est faux, il faut construire un contre-exemple

[jiol]

D'accord mais l'énoncé serait faux? Et je ne dois pas faire un contre exemple, vu qu'on me demande de démontrer cette affirmation.

[phyelec]

Peut-être par l'absurde, cela ne fonctionne pas.
une autre idée : y=f(x) , fof(x)=f(f(x))=f(y) différent de y puisque f n'a pas de point fixe. donc fof n'a pas de point fixe.

je creuse l'idée de mathelot qui est pertinente, mais pour l'instant je ne trouve pas.

[hdci]

Bonjour,
Une idée : on raisonne par l'absurde, on suppose que fof admet un point fixe, on l'appelle a

On a donc f(a)=b et f(b)=a. Supposons pour fixer les idées que a<b (car f n'a pas de point fixe donc f(a) est différent de b).
La fonction g : x->f(x)-x est continue et on a alors g(a)=b-a>0 et g(b)=a-b<0. Par le TVI il y a donc un nombre c tel que g(c)=0 ce qui fait que c est un point fixe de f.

[jiol]

D'accord je vais essayer par l'absurde et la méthode donné, merci beaucoup pour vos réponses.