Loi normale

[LB2]

oui tout à fait GBZM, simplement j'indiquais que la méthode de la densité du couple reste valable dans le cas général (où l'on n'a pas la simplification par symétrie), c'est à dire pour toutes les valeurs possible des espérances respectives. C'était assez mal dit effectivement

[GaBuZoMeu]

C'est le moins qu'on puisse dire ... Écrire "Mais il faut calculer une intégrale double" pour signifier qu'il n'y a aucun besoin de calculer d'intégrale ...

[Sylviel]

Oui enfin dire que la loi de (X,Y) est symétrique p.r. à (50,50) me semble nettement plus compliqué que de dire que Y-X est une gaussienne centrée...

[Sylviel]

cela marche quelle que soit la distribution, loi (genre pas normale du tout!)? ayant une meme valeur du 50-50 de l'aire sous la courbe?

Je ne sais pas ce que tu appeles "ça marche" ou une valeur du "50-50 de l'aire sous la courbe" mais l'argument avancé ici est que la loi du couple est symétrique.

[GaBuZoMeu]

Oui enfin dire que la loi de (X,Y) est symétrique p.r. à (50,50) me semble nettement plus compliqué que de dire que Y-X est une gaussienne centrée...

Non mais Sylviel, tu es sérieux(se) ? Compliqué de dire que si et , alors la fonction définie par vérifie ???
Pour le résultat, le fait que et soient gaussiennes ne joue un rôle que par la symétrie par rapport à l'espérance. C'est le seul ingrédient utile avec le fait qu'elles soient indépendantes (pour avoir la densité jointe comme produit des densités marginales) et qu'elles aient même espérance (pour que soit la même chose que , et donc ait même probabilité que par symétrie).

[beagle]

Y-X gaussienne centrée me semble le plus rapide pour l'exo.

Mais j'aimais bien de regarder avec une vision ensembliste les aires sous la courbe de la densité quelle que soit la loi de proba.
Même si je n'ai vraiment compris l'argument de symétrie qu'une fois rentré à la maison.

[GaBuZoMeu]

Il me semble le contraire. Question de vision, sans doute.

[Sylviel]

@GBZM oui je suis sérieux. Rédige entièrement ta solution au niveau L1-L2 et regarde le nombre de ligne et d'arguments astucieux nécessaires.

Je rédige la mienne :

X et Y étant normale indépendantes X-Y est une loi normale. E(X-Y) = E(X)-E(Y) = 0, donc X-Y est centré, donc P(X-Y>=0) = P(X >= Y) = 0.5

J'ajoute que si jamais les espérances ne sont pas égales obtenir la proba est toujours faisable avec très peu de calculs supplémentaires à partir de là.

[GaBuZoMeu]

Je l'ai déjà rédigée, je répète :

Les densités de et sont symétriques par rapport à 50, donc puisqu'elles sont indépendantes leur densité jointe est symétrique par rapport à (50,50). On a ainsi d'où, puisque , .

Pas besoin du théorème sur la somme de variables gaussiennes indépendantes, et ça s'applique à tout couple de variables aléatoires indépendantes de même espérance à densités symétriques par rapport à l'espérance.

Le raisonnement est physiquement clair, il me semble : tu as une plaque plane dont la densité surfacique est symétrique par rapport au point O. Tu découpes dans cette plaque deux morceaux symétriques par rapport à O. Ils ont même poids. Évident, non ?

[Sylviel]

Certes pas besoin du théorème sur la somme de gaussiennes mais :
- il faut penser au fait que le couple est symétrique (et à ce niveau ajouter une ligne sur le produit des densités)
- il faut penser à l'utilisation de la symétrie pour passer de P(X < Y) à P(100 - X < 100 - Y), et je suis bien en peine de le justifier proprement autrement que par une intégrale double et un changement de variable (les étudiants raffolent...)

Bref tout ça pour dire que clairement l'argument de symétrie est joli et astucieux mais ce n'est pas non plus la solution la plus évidente à l'exercice.

[GaBuZoMeu]

Tu n'as pas l'air d'apprécier l'argument physique ni de voir son évidence.
Pour moi, l'argument de symétrie est la solution la plus évidente (bien plus évident pour moi que le fait qu'une somme de gaussiennes indépendantes soit une gaussienne). Bon, je suis nettement plus géomètre que probabiliste (mais j'aime beaucoup la géométrie intégrale).

[beagle]

Ben moi j'apprécie l'argument physique géométrique de la symétrie.
Bien que je me sois planté hier après-midi, j'avais les bons ensembles mais pas la bonne relation d'ordre.

maintenant je ne vais pas mettre de note aux écritures mathématiques vu que je suis le moins bien placé pour faire ça.Mais il me semble qu'à écrire proprement c'est plus facile comme le conseille Sylviel.
appréhender que cela fonctionne ainsi est facile avec la symétrie, mais il me semble que je me ferais facilement dézinguer sur un essai d'écriture maths. Et là c'est l'expérience et la vista de Gabuzomeu qui permet de dire mais non cela s'écrit de façon rigoureuse facilement.
On retombe également sur une discussion de c'est quoi le considéré évident qui varie selon les niveaux de connaissance.

Bon l'argument géométrique me plait pour son support que je trouve ensembliste personnellement c'est avec les surfaces que je le voyais.
Et assez drole on retombe sur la spécialité de Gabuzomeu en démonstration qui est la fameuse bijection, puisque je peux mettre en bijection les moments de x sup y avec les x inf y .
et on retombe sur une discussion ou GBZM me disait les rapports entre bijection et symétrie dans le fameux fil de discussion sur les probas que j'avais proposé.

enfin il me semble.Chacun y voit ce qu'il veut.

[Sylviel]

Tu n'as pas l'air d'apprécier l'argument physique ni de voir son évidence.

Je me suis placé dans la situation suivante : je suis devant une PC de niveau L1-L2, je dois corriger l'exercice. Si je donnes l'argument de symétrie j'aurais dans la classe les réactions suivantes :
a) Ouah, c'est malin !
b) Hein, mais pourquoi je comprends pas ?
c) Purée, j'y aurais jamais pensé ! Comment je fais pour le prochain exo ?

Pour b) peux essayer d'expliquer pourquoi la symétrie est "évidente" mais si on ne voit pas l'évidence la seule solution que je vois est d'écrire l'intégrale et de faire proprement le changement de variable. Pour c) je ne sais pas quoi dire (à part "avec l'habitude on repère les symétries").

Pour ton raisonnement il faut :
1) réaliser que le couple est symétrique (par symétrie de chacune + indépendance)
2) réaliser que le fait qu'il soit symétrique permet de dire P(X<Y) = P(100-X < 100 - Y)
3) réaliser que cette égalité donne celle voulue
Chaque étape est simple, mais pas facile d'expliquer comment y penser.

Pour mon raisonnement il faut :
1) savoir qu'une combinaison linéaire de gaussienne est gaussienne (théorème important)
2) en calculer les éléments caractéristiques qui permettrons toujours d'avoir P(X-Y < a) quelque soit a
3) se rendre compte en cours de route qu'il n'y a pas de calcul à faire
Chaque étape me parait logique et sans astuce.

Je suis nettement plus probabiliste que géomètre

[GaBuZoMeu]

1) savoir qu'une combinaison linéaire de gaussienne est gaussienne (théorème important)

Sous une hypothèse qu'il faut se garder d'oublier (même si on est probabiliste).