équation de polynôme de degré 3

[Byksw]

Bonsoir.
J'ai préalablement fait des recherches sur ce sujet dans des forums (notamment celui-ci) sans avoir eu de réponse satisfaisante et après plus de 3 heures de recherche je me tourne vers vous pour m'aider à résoudre cet exercice.

Résoudre l'équation : x^3-12x^2+47x-60 = 0

J'ai essayé de trouver a, b et c pour factoriser en (x+1)(ax^2+bx+c) avec maintes méthodes trouvées sur internet, sans succès.

Merci d'avance de votre aide.

[pascal16]

x^3-12x^2+47x-60
on peut remarquer en traçant la courbe ou en étudiant sa dérivée qu'il y 3 racines, il y a donc une factorisation en éléments simples et comme le terme de poids le plus fort à 1 comme coefficient, on a :
x^3-12x^2+47x-60 = (x-a)(x-b)(x-c)
et on pose le système

on peut aussi remarquer que graphiquement 3,4 et 5 semblent bien marcher

[Byksw]

x^3-12x^2+47x-60
on peut remarquer en traçant la courbe ou en étudiant sa dérivée qu'il y 3 racines, il y a donc une factorisation en éléments simples et comme le terme de poids le plus fort à 1 comme coefficient, on a :
x^3-12x^2+47x-60 = (x-a)(x-b)(x-c)
et on pose le système

on peut aussi remarquer que graphiquement 3,4 et 5 semblent bien marcher

En effet, mais je ne comprends pas comment puis-je faire pour connaître b et c.
Cordialement.

[pascal16]

si on a pas vu la méthode générale, on se contente de : http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Eqa3dFac.htm

en gros 3,4 et 5 sont les solutions par recherche de racine entières "évidentes"

sinon, il faut suivre le lien en bas pour avoir la méthode du déterminant du 3ieme degré avec une transformation et D=4p^3+27*q^2

[vladi]

bonjour : un aparté

je ne reste pas pour éviter de polluer

ta question concerne des polynômes de degré 3 à coefficients réels

mais peut être qu'il te serait intéressant de voir en ce qui concerne ceux à coefficients complexes

et comment ta question y est traitée (quand on considère que R est un sous-corps de C

https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/sujet-annexe-une-question-t211473.html#p1382375

[Byksw]

Merci bien pour vous retours, bonne soirée.

[lyceen95]

@Byksw
Tu voulais factoriser avec (x+1)(... ..)
Ca marche, si -1 est une racine... Mais si tu remplaces x par -1, la formule donne ... -60-60, et ça ne fait pas 0, ça fait -120.
C'est pour ça que ta factorisation ne marchait pas.

[Black Jack]

Salut,

Si une racine entière pour x^3-12x^2+47x-60 = 0 existe, c'est obligatoirement, au signe près, un diviseur de 60 (on oublie maintenant d'enseigner cette "astuce" élémentaire, et c'est bien dommage).
donc : 1 , 60 , 2 , 30 , 3 , 20 , 4, 15 , 5, 12 , 6 , 10 (positifs ou négatifs)

Par exemple en calculant f(3) ... on trouve 0 et donc 3 est solution et donc (x^3-12x^2+47x-60) est divisible par (x-3)

Soit on sait faire une division euclidienne (si appris) de ( x^3-12x^2+47x-60) par (x-3) et la suite est facile.
Soit on essaie les autres possibilités de racines entières trouvées ci-dessus, mais cela est un peu long (sauf si on est un rien futé) et ne fonctionnera pas si les autres solutions ne sont pas entières.
Soit on peut faire ainsi :

On s'arrange pour faire apparaître (x-3) dans x^3-12x^2+47x-60 :

x³-12x²+47x-60
= x³-3x² - 9x² + 27x + 20x - 60
= x²(x-3)-9x(x-3)+20(x-3)
= (x-3).(x²-9x+20)

Et les 2 racines restantes (en plus de 3) sont tirées en résolvant x²-9x+20 = 0 ... qui ne pose aucune difficulté.

[vladi]

Si une racine entière pour x^3-12x^2+47x-60 = 0 existe, c'est obligatoirement, au signe près, un diviseur de 60 (on oublie maintenant d'enseigner cette "astuce" élémentaire, et c'est bien dommage).

bonjour

relations entre les coefficients et les racines (et ici il s'agit du coefficient constant )