2 questions dans un exercice que j'ai fait

[zerow2001]

Salut mes ami(e)s,
J'ai fait un exercice mais je suis bloqué dans 2 questions(EN GRAS) : les questions que j'ai déjà fait sont les données que je vais vous donné :

La fonction :
Données :
1)
2) f est croissante sur ]0;1[
f et décroissante sur ]1;0[
3) 0<x<3 ==> f''(x) < 0
x>3 ==> f''(x) > 0
4) (∀x∈[0;+oo[) : |f'(x)| < 1/2
5) L'équation f(x) accepte une seule solution a et ( 1 < a < 2 )

6) Un est une suite numérique définie avec :
U0 = 0 / Un+1 = f(Un)
-Montrez que : (∀n∈IN) : 0 < Un < 2

7) J'ai fait cette question :
(∀n∈IN) : |Un+1 - a| < (1/2) |Un - a|

8) Montrez que Un est convergente et que :

MERCI BEAUCOUP !

[pascal16]

6 ton tableau de variations te dit que si x est entre 0 et 2, f(x) est entre 1 et 2exp(-1), donc a fortiori entre 0 et 2 au sens strict

[zerow2001]

et pour 8 ?

[pascal16]

|Un+1 - a| < (1/2) |Un - a|
dit par récurrence que |Un+1 - a| < (1/2)^(n+1). |Uo - a|

[zerow2001]

Merci

[zerow2001]

6 ton tableau de variations te dit que si x est entre 0 et 2, f(x) est entre 1 et 2exp(-1), donc a fortiori entre 0 et 2 au sens strict

mais on a f croissante sur [0;1[ et décroissante sur ]1;+oo[ alors on peux pas juger que f(x) entre f(0) et f(2)

[kyrie243]

|Un+1 - a| < (1/2) |Un - a|
dit par récurrence que |Un+1 - a| < (1/2)^(n+1). |Uo - a|

(Du coup en faisant la limite à droite on a la valeur absolue à gauche qui tend vers 0 ce qui veut dire que la suite tend vers a)

[zerow2001]

|Un+1 - a| < (1/2) |Un - a|
dit par récurrence que |Un+1 - a| < (1/2)^(n+1). |Uo - a|

(Du coup en faisant la limite à droite on a la valeur absolue à gauche qui tend vers 0 ce qui veut dire que la suite tend vers a)

mais on n'a pas = on a <

[Lostounet]

|Un+1 - a| < (1/2) |Un - a|
dit par récurrence que |Un+1 - a| < (1/2)^(n+1). |Uo - a|

(Du coup en faisant la limite à droite on a la valeur absolue à gauche qui tend vers 0 ce qui veut dire que la suite tend vers a)

mais on n'a pas = on a <

Comme |U(n+1)-a | est toujours un nombre positif à cause de la valeur absolue,
0 <= |Un+1-a| < (1/2)^(n+1)|U0-a|

Le terme de droite tend vers 0..
Donc tu as une quantité qui va être comprise entre 0 et 0 quand n tend vers l'infini.