Second degré, cercles, construcion géométrique de solution

[CHING]

On se propose de résoudre par une construction géométrique toute équation du second degré.
Soit ax² + bx + c = 0 (E).
Dans un repère (0 ; vecteur i, vecteur j) orthonormal, on place les points I, A, B, C, définis par :
Vecteur OI= vecteur i ; Vecteur IA= a fois vecteur i ; Vecteur AB= b fois vecteur j ; Vecteur BC= - c fois vecteur i.

A tout point P de coordonnées (O ; alpha), on associe le point N de la droite (BC) construit de la façon suivante. La droite (PI) coupe (AB) en un point M. La droite perpendiculaire à M à (PM) coupe (BC) en N.



1. Calculez les coordonnées de M puis celles de N.

2. Démontrez que « N et C sont confondus » équivaut à a fois alpha² + b fois alpha + c = 0.

3. D’après la question précédente, les solutions de (E) sont les ordonnées des points P pour lesquels la construction précédente donne N=C.
En supposant que P (et donc M) existe, justifiez que M appartient au cercle de diamètre [IC]. Décrivez comment vous construisez le ou les points P qui conviennent.

4. Appliquez cette méthode pour résoudre les équations suivantes :
a) 2x² - x – 6 = 0
b) 4x² - 3x + 3 = 0
c) 8x² -2x -3 = 0

5. Retrouvez géométriquement la condition d’existence des racines d’une équation du second degré.



Voici mes réponses (mais seulement pour les 3 premières questions)

1) P(0 ; alpha) I(1 ;0) A(a+1 ;0) B(a+1 ;b) C(a-c+1;b) M(a+1; -a alpha) N(a alpha au carré + b alpha+ alpha + 1; b)

D’après Thalès OP/AM=OI/IA
Alpha/X=1/-a
X= -a alpha

Vecteur MN (X- (alpha+1); b + a alpha) soit (X-a-1, b + a alpha)
Vecteur PI (1-0 ;0-alpha) soir (1 ;-alpha)

Xx’+yy’=0
(X –a-1)(1)+(b+a alpha)(-alpha)=0
X-a-1-b alpha-a alpha au carré=0
X= a alpha au carré + balpha+ a +1

2) N=C équivaut : a alpha au carré+ b alpha+ alpha + 1= a-c+1 et b=b équivaut : a alpha au carré + b alpha + a –a +1-1+c=0 équivaut : a alpha au carré + b alpha+c=0 et b=b

3) Si N=C alors IMC est un triangle rectangle en M or comme un triangle rectangle est circonscrit à un cercle avec le diamètre correspondant à l’hypoténuses. M peut etre nimporte où sur le cercle CI sauf C et I. Pour construire P, il faut tracer le cercle CI, placer les deux points M sur la droite AB et tracer la droite MI. Le point P est à l’intersection des droites MI et de l’ordonnée.

a) 2xau carré-x-6=0
-1 au carré -4 fois 2 fois (-6)=1+48=49
-1-racine de 49/4= -8/4=-4
-1 + racine de 49/4=-6/4=3/2
4x au carré-3x+3=0
-3 au carré -4fois4 fois3= 9-48=-39


Voila mes réponses mais j’ai eu du mal donc c’est pas trop bien rédigé cependant pouvez vous corriger et m’aider pour les autres questions.

Merci

[Elsa_toup]

Salut,

Je ne trouve pas les mêmes coordonnées de N que toi.
D'ailleurs, il y a un souci dans ta 2ème question.
Tu écris:

2) N=C équivaut : a alpha au carré+ b alpha+ alpha + 1= a-c+1 et b=b équivaut : a alpha au carré + b alpha + a –a +1-1+c=0 équivaut : a alpha au carré + b alpha+c=0 et b=b

Mais tu as transformé un "alpha" en "a".
Est-ce normal?
Je vérifie de mon côté.

[Elsa_toup]

Non, c'est bon, tu t'étais trompé plus haut...
Tout va bien ! (relis-toi quand même, tu as fait une faute d'étourderie)

[CHING]

c'est bon alors ce que j'ai fait? ou y-t-il erreur? sinon pour la suite pouvez vous m'aider svp.

Merci

[Elsa_toup]

Jusqu'à la 3, ça m'a l'air bon (sous réserve que quelqu'un de plus concentré que moi dise le contraire...).

Pour la 4, je ne comprends pas bien ce que tu as fait.
Peux-tu m'expliquer ton raisonnement ?

P.S: je pense que tu dois avoir une touche ² en haut à gauche de ton clavier (à côté du 1 et du &).
Si tu la trouves, utilise-là, ce sera plus lisible...

Tu peux aussi utiliser * au lieu de "fois".

[CHING]

pour la 4 j'ai fais le trinome mais c'est faux non?

[Elsa_toup]

Non mais je ne comprends pas ce que tu as fait... Tu as remplacé x par une valeur ?

[CHING]

non j'ai appliqué delta dans le trinome et aprés j'ai trouvé soit pas de solutions ou deux et voila. Poubvez vous m'aider pour la 4 et la 5 svp