Inéquation Logarithme

[Thouny71]

Bonjour à tous,

Pour ma rentrée en prépa l'année prochaine, je dois faire un DM de Maths, seulement je bloque sur une question.
On doit résoudre l'inéquation : x+ln(1-2x) ≥0

Dans la question , on nous aide un peu en nous disant de trouver le domaine d'existence de cette inéquation, j'ai trouvé }-∞:1/2{.
Seulement après en essayant de résoudre l'inéquation, je tombe sur x ≤ 0. Cela me semble juste mais en regardant sur la calculatrice on remarque que l'équation est positive sur environ -1,26<x<0.
C'est alors que je bloque, je ne sais pas comment montrer que x est compris entre -1,26 et 0.

Merci d'avance de votre aide

[aviateur]

Bonjour
As-tu posé f(x)= x+log(1-2x) ?
As-tu étudier les variations de f?
As tu fait une petite représentation graphique?
Sinon commence par cela et puis on pourra en rediscuter après.

[Black Jack]

Salut,

Une approche possible :

f(x) = x + ln(1-2x)

Df : x compris dans ]-oo ; 1/2[

f'(x) = 1 - 2/(1-2x) = -(1+2x)/(1-2x) = (x + 1/2)/(x - 1/2)

Etude du signe de f'(x) (sur ]-oo ; 1/2[) ...

On étudie les variations de f(x)

Tente de montrer que f(x) est positif pour x compris dans [alpha ; 0] et que alpha est forcément < -1/2 ... et la valeur de alpha peut être approchée par approximations successives (par exemple par une méthode dichotomique)

EDIT : Pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.

[Thouny71]

En faisant le signe de la dérivée, je trouve que f'(x) est positive sur }-∞;-1:2{ puis négative sur }-1:2;1/2{.

Je n'arrive pas à faire apparaitre ∝.

[pascal16]

sur }-∞;-1:2{ puis négative sur }-1:2;1/2{.
donc f admet un maximum pour x=-1*2.
f(-1/2) est positif ou négatif ?

en -oo, x est prépondérant devant le ln, ça donne quoi comme limite ?

et en 1/2- ?

donc f(x)=0 admet combien de solutions ?

[Thouny71]

sur }-∞;-1:2{ puis négative sur }-1:2;1/2{.
donc f admet un maximum pour x=-1*2.
f(-1/2) est positif ou négatif ?

en -oo, x est prépondérant devant le ln, ça donne quoi comme limite ?

et en 1/2- ?

donc f(x)=0 admet combien de solutions ?

Donc il me suffit de dire que f(x) admet un maximum qui est positif, ensuite, je montre que la limite en -∞ est -∞. Pour celle en 1/2 je ne sais pas comment faire sachant que 1/2 est exclu de l'ensemble de définition de la fonction.

Une fois que j'ai trouvé ces deux limites je peux montrer que f(0) admet deux solutions, 0 et f(0)=∝ Après je cherche une approximation de cette valeur avec la calculatrice puis avec le corollaire du TVI ?

[pascal16]

-oo est lui aussi exclus de l'ensemble de finition

démo pour 1/2- facilement généralisable si le résultat n'est pas déjà dans le cours :
f(-1/2) > 0
limite en 1/2- = -oo
donc pour toute valeur négative choisie (-1 par exemple), il existe xo dans ]-1/2;1/2[ tel que pour tout x dans [xo;1/2[, f(xo)<-1.
en particulier f(xo)<0.
et tu appliques le TVI sur [-1/2; xo]

[aviateur]

Bonjour
Pour approfondir, on peut ajouter une question à cette exercice:
Montrer que

[Thouny71]

C'est bon j'ai réussi à trouver, merci à tous