Résultat impossible sur les suites

[Florix]

Bonjour,

Voila quelquechose qui me dépasse et pour lequel j'aurais besoin d'aide !

On considère un nombre réel strictement positif a et la fonction f définie pour tout x réel par f(x) = exp ( a(x-1) )
On définit alors une suite (Uk) définie par Uk+1 (à lire U indice k+1 ) = f (Uk)

(a) Etablir par récurrence pour tout nombre entier naturel k les inégalités

0 <= Uk <= 1 et Uk <= Uk+1

Alors moi je veux bien mais ça m'énerve peu. On a bien Uk+1 = f(Uk) donc après un simple développement, on a Uk+1 = exp(aUk) / exp (a)

Or on sait depuis la 6ème qu'une fraction est inférieure à 1 si le dénominateur est inférieur au numérateur. Or la fonction exponentielle est croissante, Uk est censé être positif (résultat que l'on doit démontrer mais là je prend juste le résultat pour montrer qu'il y a un problème), alors je vois pas comment exp(aUk) pourrait être inférieur à exp(a), sauf si Uk est inférieur ou égal à 1 mais ça je vois pas comment le montrer sachant qu'on sait rien du tout sur Uk et que par conséquent je vois pas comment on fait !

Du coup pas possible de montrer la croissance de la suite.

Si quelqu'un a une idée je suis preneur !

Merci d'avance pour vos réponses

Florix

[kazeriahm]

bah vu que tu sais rien de u0 et quon te demande de montrer quil est inférieur a 1, il doit y avoir un pb... et si u0 est inférieur a 1 alors c'est pas trop dur ce quon te demande

[Florix]

On sait que U0 = 0 mais je vois pas en quoi ça aide... parce que bon en le montrant par récurrence, on montre que P(0) et P(1) sont vrais avec P(n) la propriété 0 <= Uk <= Uk+1 <= 1 mais bon après je vois pas trop...

[alben]

Bonsoir,

Au lieu de t'énerver, relis ce que tu as toi-même écrit. Tu a pratiquement montré ce que l'on te demandait :we:

Alors moi je veux bien mais ça m'énerve peu. On a bien Uk+1 = f(Uk) donc après un simple développement, on a Uk+1 = exp(aUk) / exp (a)

Or on sait depuis la 6ème qu'une fraction est inférieure à 1 si le dénominateur est inférieur au numérateur. Or la fonction exponentielle est croissante, Uk est censé être positif (résultat que l'on doit démontrer mais là je prend juste le résultat pour montrer qu'il y a un problème), alors je vois pas comment exp(aUk) pourrait être inférieur à exp(a), sauf si Uk est inférieur ou égal à 1 ce qui est précisément l'hypothèse de récurrence

On sait que U0 = 0 mais je vois pas en quoi ça aide.

Ca te permet de traiter le cas k=0 pour initialiser la récurrence.