Limite de Re(exp((10^n*2*pie*i)/p))

[Abilys38]

Bonjour,

On me demande de donner la limite en l'infini de la suite

Je pensais dans un premier temps qu'il était évident qu'il n'y en avait jamais car 1/p est un nombre périodique pour tout p supérieur à 2. Mais 1/11 est un contre exemple...
Du coup je ne sais pas trop comment raisonner.

Avez vous des idées??

Merci!!

[Viko]

J’iamgine que tu voulais ecrire Re(u_n) = Re(e^....)

Il suffit juste de remarque que Re(e^ix)=cos(x)

[Lostounet]

C'est quoi p?

[Abilys38]

Bien sur autant pour moi !!!
Oui évidement ca correspond à la limite de cos(...). Je précise que p est un nombre premier supérieur strictement à 2. Donc 1/p est un nombre périodique.

Je ne pense pas que la réponse soit si triviale, mais j'espère me tromper

[Lostounet]

Perso je ne sais pas si p premier ça joue car j'ai essayé p=10, p=7.
L'adhérence semble toujours [-1;1]

[Abilys38]

10 n'est pas un nombre premier. Et 1/10 = 0.1 donc on tend vite vers un nombre de la forme 2kpie (k appartient à N) et donc la suite converge.
Ce n'est pas le cas pour p = 7. Mais c'est le cas pour p = 11.

[Ben314]

Salut,
Deux remarques :
1) @Abilys38 : je pense pas que ça se dise "un nombre périodique" (vu que fondamentalement, ça veut rien dire du tout...). par contre ce qui est vrai c'est que 1/p admet une écriture décimale périodique : c'est pas "le nombre" qui est périodique, c'est la suite de ces décimales (à partir d'un certain rang)

2)

Perso je ne sais pas si p premier ça joue car j'ai essayé p=10, p=7.
L'adhérence semble toujours [-1;1]

Ben tu t'es gouré vu que, du fait que l'écriture décimale de 1/p est périodique (à partir d'un certain rang), la suite Un ne prend qu'un nombre fini de valeurs et donc ne risque pas d'être dense.

[Ben314]

Revenons au problème de départ (mais en considérant un entier quelconque histoire de voir si ça joue ou pas qu'il soit premier).
Si j'ai bien compris, .
Si on écrit la division Euclidienne de par : alors qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs vu que donc la suite est convergente ssi elle est constante à partir d'un certain rang et, en particulier, on a c'est à dire ou bien .

Dans le premier cas, on a donc avec et (i.e. 1/p est décimal ou bien admet une écriture décimale périodique à partir d'un certain rang)

Dans le second cas, on a donc avec et (i.e. 1/p est décimal ou bien admet une écriture décimale style ...545454... ou ...636363... ou ...727272... à partir d'un certain rang)

Et si on se limite à p premier, alors p=2 ou 3 ou 5 ou 11.

[Abilys38]

Effectivement nombre périodique ne veut en soit rien dire du tout !!
Je crois que j’ai bien tout saisi. Je reviens vers vous si ce n’est pas le cas !!

Merci beaucoup!!