Sujet concours Advance 2015 - Signe d'une image de fonction

[Pierrot73]

Bonjour le forum,

Je bute sur une question extraite du concours Advance 2015 (pour terminale S), concours pour intégrer certaines écoles d'ingénieurs. L'épreuve de maths est constituée de plusieurs exercices dans lesquels il faut répondre aux questions par vrai ou faux.

Je bloque sur la question (B) de l'exercice 7 ; énoncé complet ici :http://www.concours-advance.fr/Content/docs/Epreuve-Mathematiques-2015.pdf

Voilà le problème :
On donne une fonction continue sur R vérifiant et .
On pose la fonction définie par : .
est continue sur R comme somme de fonctions elles-mêmes continues sur R.

Affirmation B (dont il faut dire si c'est vrai ou faux) : .

Résolution perso (inachevée ...) :


Aucune donnée de l'énoncé ne m'a permis de trouver la valeur ou même le signe de ... Si alors l'affirmation est fausse, sinon, elle est vraie.
Le corrigé indique que l'affirmation est fausse (sans pour autant détailler les calculs), ce qui voudrait dire qu'il est possible de démontrer que . Et là, je coince.

Auriez-vous une piste ?

En vous remerciant par avance

[zygomatique]

salut

f(0) = 0
f(1) = 4

il suffit de prendre f(1/2) = 5 par exemple pour que f soit un trinome du second degré ...

et avec f(1/2) = 2 on obtient f(x) = 4x ...

[Lostounet]

Salut,

Voici la première chose que j'aurais faite (je pense que toi aussi) pour avoir des renseignements sur f et g

G(1/2)=f(1)-f(1/2)-2
G(0)=f(1/2)-2

En sommant les deux égalités:
G(0)+g(1/2)=f(1)-4=0
Ce qui signifie que g(0)×g(1/2)<=0 car ils sont opposés

Donc par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à g, on a qu'il existe c dans [0;1/2] tel que g(c)=0

Ce qui veut dire que g(c)=f(c+1/2)+f(c)-2
Et g(c)=0

Donc f(c+1/2)+f(c)=2

[Pierrot73]

Merci à vous deux pour vos réponses !
Tout est clair