[Complexes] Bijection

[Anonyme]

Bonjour.

Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui transforme,
par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...

Merci d'avance.

[Anonyme]

"pasquetstephane" a écrit dans le message de news:
20041124124629.21753.00000909@mb-m12.aol.com...
> Bonjour.
>
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
> transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>
> Merci d'avance.

non, le cercle est compact et pas C.

[Anonyme]

">>[color=green]
>> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
>> transforme,
>> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>>
>> Merci d'avance.
>
> non, le cercle est compact et pas C.[/color]

Ben là, je suis perdu. Je croyais R^2 et R équipotents, donc évidemment C et
un cercle !

[Anonyme]

On Wed, 24 Nov 2004 18:59:55 +0100, Cyberchand wrote:

> non, le cercle est compact et pas C.

Tu peux avoir une bijection d'un ensemble compact vers un ensemble non
compact. Elle ne sera juste pas continue.

--
Nicolas

[Anonyme]

> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...


Oui.
Après, si on veut rajouter des conditions sur la bijection (continue,
continue à réciproque continue, holomorphe), ça marche moins bien.

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...

Il existe des applications nommés inversions qui transforme des cercles en
droites, par exemple , une inversion de pôle O échange une droite ne passant
pas par O en un cercle passant par O (mais privé de O).
C'est pas tout à fait ce que tu demandais mais c'est déjà qquechose...

[Anonyme]

pasquetstephane a écrit :
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...

Quand tu dis "plan" et quand tu dis "cercle" je suppose que tu
sous-entends quelque chose derrière :
- Un plan est homéomorphe à R^2 je suppose... peut être même as-tu
envie de la métrique de R^2, du style "un plan n'est pas une selle de
cheval", un vrai plan donc!
- Un cercle ça serait, dans la même veine, un truc comme {e^(it) où (t
\in R) et (i^2 = 1)} avec la norme induite. Bref, un truc rigide! Bref
des conditions du style "un cercle n'est pas une ellipse", donc un vrai
cercle!

Auquel cas le terme "transformer" serait implicitement quelque chose qui
transporte la topologie (et la métrique). Alors la réponse est non.

Sinon évidemment qu'il existe une bijection entre "un plan" (R^2) et "un
cercle" (R union {oo}, par exemple) mais c'est pas intéressant.

--
Nico.

[Anonyme]

>
> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
> transforme,
> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>
Bonjour,

Bon, alors tout le monde t'a dit que oui, bien sûr, mais sans intérêt
parceque non continue, non conservatrice des machinschose, ou des topotrucs,
.... . Alors, bien que cela semble évident pour tout le monde, j'ai mis du
temps à en fabriquer une (démontrer qu'il y en a est assez simple, trouver
une injection aussi, mais identifier une bijection ..). Il y en a
probablement de plus simples que celle qui est ci-dessous, mais c'est tout
ce que j'ai trouvé dans l'immédiat, et puis c'est mamiennàmoi :

1) bijection immédiate de C dans R^2 : f1(z)=(réel(z),im(z))

2) bijection simple de R^2 dans ]0,1[^2 : f2(x,y)=(1/2+arctan(x)/pi,
1/2+arctan(y)/pi)
(Nota : arctan étant de R dans ]-pi/2, pi/2[)

3) bijection de ]0,1[^2 dans [0,1[^2 : f3(x,y)=(g(x),g(y)) avec :
g(x) = x + 1 - 3(2^Ent(log_2(x)))
(Nota : Ent(x) étant l'unique entier n tel que n = 1/2 :
u_(n+1) = 2u_n - 1
v_(n+1) = v_n
w_(n+1) = w_n + 1/2^(n+1)
Si u_n infini, w_n) est une bijection de [0,1[^2 dans
[0,1[.
Explication : on écrit x et y en base 2, puis on fabrique f4(x,y) en
constituant sa représentation en base 2 en copiant alternativement celle de
x et celle de y mais en arrêtant la copie dès qu'un 0 est rencontré (après
l'avoir copié).

5) bijection de [0,1[ sur le cercle unitaire de centre O : f5(x) =
exp(ix*(2pi))

Voilà, c'était pour le plaisir ... . (euhh, le mien en tout cas)

[Anonyme]

> Bon, alors tout le monde t'a dit que oui, bien sûr, mais sans intérêt
> parceque non continue, non conservatrice des machinschose, ou des
topotrucs,

Qui a dit que ça n'avait pas d'intérêt?

> ... . Alors, bien que cela semble évident pour tout le monde, j'ai mis du
> temps à en fabriquer une (démontrer qu'il y en a est assez simple, trouver
> une injection aussi, mais identifier une bijection ..).

On s'amuse comme on peut
Je n'ai aps lu ta construction, mais pour revenir au sujet initial, il est
en général difficile de construire proprement et à la main des bijections
entre ensembles "qui ne se ressemblent pas trop" (laborieux en tout cas).

--
µ

Doucement, n'est pas audible ni heures ni mouettes, docilement le coeur est
coupé

[Anonyme]

>
> Qui a dit que ça n'avait pas d'intérêt?
>

je reconnais avoir un peu exagéré. Un seul post mentionne "mais c'est pas
intéressant".


>
> On s'amuse comme on peut
>

Voui, et je peux peu

> Je n'ai aps lu ta construction, mais pour revenir au sujet initial, il est
> en général difficile de construire proprement et à la main des bijections
> entre ensembles "qui ne se ressemblent pas trop" (laborieux en tout cas).

C'est exact, mais souvent intéressant pour "mettre le doigt dessus" quand on
a pas l'habitude de considérer comme bijectifs des ensembles apparemment
assez éloignés (cf fil récent, assez sympa, essayant de mettre en avant une
bijection simple entre Q et N).

[Anonyme]

Patrick Coilland wrote:[color=green]
>> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
>> transforme,
>> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>
> Bon, alors tout le monde t'a dit que oui, bien sûr, mais sans intérêt
> parceque non continue, non conservatrice des machinschose, ou des
> topotrucs, ... .[/color]

Moi, il me semblait que le monsieur il parlait de bijections de C dans
C, mais je n'ai pas tout compris à ce thread... donc oubliez mes
commentaires .

[Anonyme]

:[color=green][color=darkred]
>>> Je me demande s'il existe une application bijective de C sur C qui
>>> transforme,
>>> par exemple, le plan en cercle ou quelque chose dans ce genre ...
>>[/color]
>
> Moi, il me semblait que le monsieur il parlait de bijections de C dans C,
> mais je n'ai pas tout compris à ce thread... donc oubliez mes commentaires
> .[/color]

C'est exact, mais comme il dit ensuite "qui transforme ... le plan en
cercle" et que une bijection de C dans C tansforme a priori le plan (C, je
pense) en lui-même, certains contributeurs - dont au moins moi - ont
interprété cela comme :

"Je me demande s'il existe une application C sur C qui soit une bijection du
plan sur, par exemple, un cercle ou quelque chose dans ce genre"

Je reconnais que c'est pratique de faire sa propre interprétation de la
question et d'y répondre ...

Mais puisque le monsieur ne s'est pas manifesté depuis sa question ...

[Anonyme]

On Thu, 25 Nov 2004 11:01:53 +0100, Patrick Coilland wrote:
> C'est exact, mais souvent intéressant pour "mettre le doigt dessus" quand on
> a pas l'habitude de considérer comme bijectifs des ensembles apparemment
> assez éloignés (cf fil récent, assez sympa, essayant de mettre en avant une
> bijection simple entre Q et N).

Si ça t'amuse, tu peux essayer de construire une bijection entre R et
R^2

--
Nicolas

[Anonyme]

>
> Si ça t'amuse, tu peux essayer de construire une bijection entre R et
> R^2
>

Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
plus immédiat) :

1) bijection simple de R^2 dans ]0,1[^2 : f2(x,y)=(1/2+arctan(x)/pi,
1/2+arctan(y)/pi)
(Nota : arctan étant de R dans ]-pi/2, pi/2[)

2) bijection de ]0,1[^2 dans [0,1[^2 : f3(x,y)=(g(x),g(y)) avec :
g(x) = x + 1 - 3(2^Ent(log_2(x)))
(Nota : Ent(x) étant l'unique entier n tel que n = 1/2 :
u_(n+1) = 2u_n - 1
v_(n+1) = v_n
w_(n+1) = w_n + 1/2^(n+1)
Si u_n infini, w_n) est une bijection de [0,1[^2 dans
[0,1[.
Explication : on écrit x et y en base 2, puis on fabrique f4(x,y) en
constituant sa représentation en base 2 en copiant alternativement celle de
x et celle de y mais en arrêtant la copie dès qu'un 0 est rencontré (après
l'avoir copié).

5) les étapes 1 et 2 à l'envers


Voilà, c'était pour le plaisir ... . (euhh, le mien en tout cas)

[Anonyme]

On Thu, 25 Nov 2004 15:35:22 +0100, Patrick Coilland wrote:
[color=green]
> > Si ça t'amuse, tu peux essayer de construire une bijection entre R et
> > R^2
>
> Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
> plus immédiat) :[/color]

Oui, ça tient en une ou deux lignes

--
Nicolas

[Anonyme]

[color=green]
>> Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
>> plus immédiat) :
>
> Oui, ça tient en une ou deux lignes
>[/color]

C'est possible, et je n'ai jamais revendiqué le summum de la simplicité.
Tous mes posts sur ce sujet sont prudents et *humbles*.

Disons que tu m'aurais probablement évité de me ridiculiser en donnant au
monsieur dès ton premier post les deux lignes "que tout le monde semble
connaître" et qui donnent la bijection du plan sur un cercle.

Patrick

[Anonyme]

On Thu, 25 Nov 2004 15:48:10 +0100, Patrick Coilland wrote:
[color=green][color=darkred]
> >> Ben, c'est la même, à la dernière étape près (même si là il doit y avoir
> >> plus immédiat) :
> >
> > Oui, ça tient en une ou deux lignes
> >[/color]
>
> C'est possible, et je n'ai jamais revendiqué le summum de la simplicité.
> Tous mes posts sur ce sujet sont prudents et *humbles*.[/color]

Je suppose que c'est par opposition aux miens.

> Disons que tu m'aurais probablement évité de me ridiculiser en donnant au

Tu n'as absolument pas été ridiculisé. Mon seul mérite a été d'avoir lu
une fois par hasard un exemple de bijection, exemple que je n'aurais
jamais pu trouver tout seul. A mon avis, je n'aurais pas non plus
trouver celle que tu as donnée.

Pour moi, en trouver une de deux lignes donne plus de mérite à celui qui
l'a trouvée qu'il n'en enlève à celui qui en ont trouvé des plus
laborieuss.

> monsieur dès ton premier post les deux lignes "que tout le monde semble
> connaître" et qui donnent la bijection du plan sur un cercle.

Je n'ai jamais sous-entendu que tout le monde semblait la connaître,
c'est une extrapolation visant à me désigner comme le gros méchant pas
beau, c'est très vilain de faire ça.

Sinon, pour assouvir la curiosité de certains, la bijection est la
suivante:

Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
simple)

Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
non nul ...

Ex:

Si x = 0,0001203...
et y = 0,2104...

Alors f(x,y) = 0,00012210304

On voit que l'on peut facilement reconstruire x et y à l'aide de f(x,y)

--
Nicolas

[Anonyme]

>
> Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
> illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
> simple)
>
> Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
> son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
> l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
> jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
> entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
> non nul ...
>


C'est vraiment très drôle !

C'est exactement la mienne, sauf que je suis en base 2.

[Anonyme]

>
> Soit un élément (x,y) du plan, x et y étant écrit sous forme décimale
> illimitée (on va écrire une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[, c'est plus
> simple)
>
> Alors f(x,y) est la concaténation du développement décimal de x jusqu'à
> son premier terme non nul (il existe forcément puisque nous avons pris
> l'écriture décimale illimitée), puis du développement décimal de y
> jusqu'à son premier terme non nul, puis du développement décimal de x
> entre le chiffre suivant le premier terme non nul et le deuxième terme
> non nul ...
>

Le réel x=0,0100100100100100100100100 de ]0,1[ a comme antécédent (0;
0,101010..) qui n'est pas dans ]0,1[^2.

C'est la raison pour laquelle je passe d'abord par [0,1[, ce qui nécessite
une bijection de ]0,1[ dans [0,1[, soit quelques lignes de plus.

[Anonyme]

On Thu, 25 Nov 2004 15:59:14 +0100, Patrick Coilland wrote:

> C'est vraiment très drôle !
>
> C'est exactement la mienne, sauf que je suis en base 2.

Tiens, c'est vrai que l'écriture de la vôtre en base 2 permettait une
définition plus formelle mais que je trouvais en révanche moins lisible.

Sinon, à moins que je ne me trompe, vous vous arrêtez au premier 0 alors
que je m'arrête au premier chiffre non nul. Or x peut par exemple ne
plus contenir aucun 0 après un certain rang, non ?

--
Nicolas